Question

（2007•廣州）二次函數(shù)圖象過(guò)A、C、B三點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C在y軸正半軸上，且AB=OC．
（1）求C的坐標(biāo)；
（2）求二次函數(shù)的解析式，并求出函數(shù)最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)A．B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及點(diǎn)C在y軸正半軸上，且AB=OC．求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5）；
（2）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，把A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，可求出a、b、c的值．
解答：解：（1）∵A（-1，0），B（4，0）
∴AO=1，OB=4，
AB=AO+OB=1+4=5，
∴OC=5，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5）；

（2）解法1：設(shè)圖象經(jīng)過(guò)A、C、B三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c
由于這個(gè)函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（0，5），可以得到C=5，又由于該圖象過(guò)點(diǎn)（-1，0），（4，0），則：
，
解方程組，得
∴所求的函數(shù)解析式為y=-x²+x+5
∵a=-＜0
∴當(dāng)x=-=時(shí)，y有最大值==；

解法2：
設(shè)圖象經(jīng)過(guò)A、C、B二點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為y=a（x-4）（x+1）
∵點(diǎn)C（0，5）在圖象上，
∴把C坐標(biāo)代入得：5=a（0-4）（0+1），解得：a=-，
∴所求的二次函數(shù)解析式為y=-（x-4）（x+1）
∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是點(diǎn)A（-1，0），B（4，0），
∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），即拋物線的對(duì)稱軸為直線x=
∵a=-＜0
∴當(dāng)x=時(shí)，y有最大值y=-=．
點(diǎn)評(píng)：解答此題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，頂點(diǎn)坐標(biāo)為x=-，y=．