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7.如圖,在平面直角坐標系中,矩形OCAB的兩邊在直角坐標系的坐標軸上,頂點A在第二象限,OB=4,OC=3,點D是邊AB上的一個動點(點D不與A,B重合),過點D的反比例函數y=mx的圖象與邊AC交于點E.
(1)求證:DE∥BC;
(2)點P在BC上,是否存在點D使得△DPE的面積為43,并說明理由.

分析 (1)根據矩形的性質可得出點D、E的坐標,由此可得出AD、AE的長度,根據ADAB=AEAC即可證出DE∥BC;
(2)過點A作AM⊥BC于點M,AM交DE于點N,利用面積法求出AM的長度,設AD=x(0<x<3),則BD=3-x,根據平行線的性質找出DE、MN的長度,根據三角形的面積公式結合△DPE的面積為43,即可得出關于x的一元二次方程,解方程即可得出結論.

解答 解:(1)∵四邊形OCAB為矩形,頂點A在第二象限,OB=4,OC=3,
∴點A的坐標為(-4,3),AB=3,AC=4,BC=AB2+AC2=5.
∵點D、點E在反比例函數y=mx的圖象上,
∴點D的坐標為(-4,-m4),點E的坐標為(m3,3),
∴BD=-m4,AD=AB-BD=3+m4,CE=-m3,AE=AC-CE=4+m3,
ADAB=3+m43=12+m12,AEAC=4+m34=12+m12,
ADAB=AEAC,
∴DE∥BC.
(2)過點A作AM⊥BC于點M,AM交DE于點N,如圖所示.
∵AB=3,AC=4,BC=5,
∴AM=125
設AD=x(0<x<3),則BD=3-x,
∵DE∥BC,
∴DE=53x,AN=45x,
∴MN=AM-AN=125-45x,
∵S△DPE=12DE•MN=12×53x•(125-45x)=-23x2+2x=43,
整理得:x2-3x+2=0,
解得:x1=1,x2=2,
∴當點D的坐標為(-4,1)或(-4,2)時,△DPE的面積為43

點評 本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征、矩形的性質以及平行線的性質,根據反比例函數圖象上點的坐標特征找出點D、E的坐標是解題的關鍵.

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(1)如圖2所示,點A、B都在原點右邊,|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|;
(2)如圖3所示,點A、B都在原點左邊,|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-(-a)=|a-b|;
(3)如圖4所示,點A、B在原點兩邊,|AB|=|OB|+|OA|=|b|+|a|=a+(-b)=|a-b|.
綜上所述,數軸上A、B兩點之間的距離表示為|AB|=|a-b|.
根據閱讀材料回答下列問題:
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(2)數軸上表示x和-3的兩點A、B之間的距離是|x+3|,如果|AB|=2,則x為-1或5.
(3)當代數式|x+1|+|x-2|取最小值時,即在數軸上,表示x的動點到表示-1和2的兩個點之間的距離和最小,這個最小值為3.相應的x的取值范圍是-1≤x≤2.

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