(2007•南昌)實驗與探究:
(1)在圖1,2,3中,已知平行四邊形ABCD的三個頂點A,B,D的坐標(如圖所示),求出圖1,2,3中的第四個頂點C的坐標,已求出圖1中頂點C的坐標是(5,2),圖2,3中頂點C的坐標分別是______,______;

(2)在圖4中,平行四邊形ABCD的頂點A,B,D的坐標(如圖所示),求出頂點C的坐標(C點坐標用含a,b,c,d,e,f的代數(shù)式表示);

歸納與發(fā)現(xiàn):
(3)通過對圖1,2,3,4的觀察和頂點C的坐標的探究,你會發(fā)現(xiàn):無論平行四邊形ABCD處于直角坐標系中哪個位置,當其頂點坐標為A(a,b),B(c,d),C(m,n),D(e,f)(如圖4)時,則四個頂點的橫坐標a,c,m,e之間的等量關系為______;縱坐標b,d,n,f之間的等量關系為______
(不必證明);運用與推廣:
(4)在同一直角坐標系中有拋物線y=x2-(5c-3)x-c和三個點,H(2c,0)(其中c>0).問當c為何值時,該拋物線上存在點P,使得以G,S,H,P為頂點的四邊形是平行四邊形?并求出所有符合條件的P點坐標.
【答案】分析:(1)根據(jù)平行四邊形的性質:對邊平行且相等,得出圖2,3中頂點C的坐標分別是(e+c,d),(c+e-a,d);
(2)分別過點A,B,C,D作x軸的垂線,垂足分別為A1,B1,C1,D1,分別過A,D作AE⊥BB1于E,DF⊥CC1于點F.
在平行四邊形ABCD中,CD=BA,根據(jù)內角和定理,又∵BB1∥CC1,可推出∠EBA=∠FCD,△BEA≌△CFD.
依題意得出AF=DF=a-c,BE=CF=d-b.設C(x,y).由e-x=a-c,得x=e+c-a.
由y-f=d-b,得y=f+d-b.繼而推出點C的坐標.
(3)在平行四邊形ABCD中,CD=BA,同理證明△BEA≌△CFD(同(2)證明).然后推出AF=DF=a-c,BE=CF=d-b.又已知C點的坐標為(m,n),e-m=a-c,故m=e+c-a.由n-f=d-b,得出n=f+d-b.
(4)若GS為平行四邊形的對角線,由(3)可得P1(-2c,7c).要使P1在拋物線上,
則有7c=4c2-(5c-3)×(-2c)-c,求出c的實際取值以及P1的坐標,
若SH為平行四邊形的對角線,由(3)可得P2(3c,2c),
同理可得c=1,此時P2(3,2);
若GH為平行四邊形的對角線,由(3)可得(c,-2c),
同理可得c=1,此時P3(1,-2);故綜上所述可得解.
解答:解:(1)(e+c,d),(c+e-a,d).(2分)

(2)分別過點A,B,C,D作x軸的垂線,垂足分別為A1,B1,C1,D1
分別過A,D作AE⊥BB1于E,DF⊥CC1于點F.
在平行四邊形ABCD中,CD=BA,
又∵BB1∥CC1
∴∠EBA+∠ABC+∠BCF=∠ABC+∠BCF+∠FCD=180度.
∴∠EBA=∠FCD.
又∵∠BEA=∠CFD=90°,
∴△BEA≌△CFD.(5分)
∴AE=DF=a-c,BE=CF=d-b.
設C(x,y).
由e-x=a-c,得x=e+c-a.
由y-f=d-b,得y=f+d-b.
∴C(e+c-a,f+d-b).(6分)
(此問解法多種,可參照評分)

(3)m=c+e-a,n=d+f-b.或m+a=c+e,n+b=d+f.(10分)

(4)若GS為平行四邊形的對角線,由(3)可得P1(-2c,7c).
要使P1在拋物線上,
則有7c=4c2-(5c-3)×(-2c)-c,
即c2-c=0.
∴c1=0(舍去),c2=1.此時P1(-2,7).(11分)
若SH為平行四邊形的對角線,由(3)可得P2(3c,2c),
同理可得c=1,此時P2(3,2).(12分)
若GH為平行四邊形的對角線,由(3)可得(c,-2c),
同理可得c=1,此時P3(1,-2).(13分)
綜上所述,當c=1時,拋物線上存在點P,使得以G,S,H,P為頂點的四邊形是平行四邊形.
符合條件的點有P1(-2,7),P2(3,2),P3(1,-2).(14分)
點評:考查平行四邊形的性質,平面直角坐標系內的坐標,平行線的性質等知識.理解平行四邊形的特點結合平面直角坐標系是解決本題的關鍵.
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(不必證明);運用與推廣:
(4)在同一直角坐標系中有拋物線y=x2-(5c-3)x-c和三個點,,H(2c,0)(其中c>0).問當c為何值時,該拋物線上存在點P,使得以G,S,H,P為頂點的四邊形是平行四邊形?并求出所有符合條件的P點坐標.

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(2)在圖4中,平行四邊形ABCD的頂點A,B,D的坐標(如圖所示),求出頂點C的坐標(C點坐標用含a,b,c,d,e,f的代數(shù)式表示);

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