Question

如圖①，有兩個(gè)形狀完全相同的直角三角形ABC和EFG疊放在一起（點(diǎn)A與點(diǎn)E重合），已知AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O 是△EFG斜邊上的中點(diǎn)．

如圖②，若整個(gè)△EFG從圖①的位置出發(fā)，以1cm/s 的速度沿射線AB方向平移，在△EFG 平移的同時(shí)，點(diǎn)P從△EFG的頂點(diǎn)G出發(fā)，以1cm/s 的速度在直角邊GF上向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)，△EFG也隨之停止平移．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），F(xiàn)G的延長(zhǎng)線交 AC于H，（不考慮點(diǎn)P與G、F重合的情況）．

（1）當(dāng)x為何值時(shí)，OP∥AC ?

（2）你能不能用含x的式子來(lái)表示四邊形OAHP面積呢？若能，請(qǐng)表示；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。

（3）是否存在某一時(shí)刻，使四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13∶24？若存在，求出x的值；若不存在，說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：114² ＝12996，115² ＝13225，116² ＝13456或4.4² ＝19.36，4.5² ＝20.25，4.6² ＝21.16）

        

Answer 1

（1）∵Rt△EFG∽R(shí)t△ABC ，∴，．∴FG＝＝3cm．

∵當(dāng)P為FG的中點(diǎn)時(shí)，OP∥EG ，EG∥AC ，∴OP∥AC．

∴ x ＝＝×3＝1.5（s）．∴當(dāng)x為1.5s時(shí)，OP∥AC ．

（2）在Rt△EFG 中，由勾股定理得：EF ＝5cm．

∵EG∥AH ，∴△EFG∽△AFH ．∴．

∴．∴ AH＝（ x ＋5），F(xiàn)H＝（x＋5）．

過(guò)點(diǎn)O作OD⊥FP ，垂足為 D ．

∵點(diǎn)O為EF中點(diǎn)，∴OD＝EG＝2cm．∵FP＝3－x ，

∴S_{四邊形OAHP} ＝S_△AFH －S_△OFP＝·AH·FH－·OD·FP

＝x²＋x＋3 （0＜x＜3．

（3）假設(shè)存在某一時(shí)刻x，使得四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13∶24．

則S_{四邊形OAHP}＝×S_△ABC，∴x²＋x＋3＝××6×8,

∴6x²＋85x－250＝0,解得 x₁＝， x₂＝ －（舍去）．

∵0＜x＜3，

∴當(dāng)x＝（s）時(shí)，四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13∶24．