Question

如圖，已知直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過(guò)正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)A、B、C．若A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4），D點(diǎn)的坐標(biāo)為（7，0），
（1）圓弧所在圓的圓心M點(diǎn)的坐標(biāo)為

（2，0）

（2）點(diǎn)D是否在經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的拋物線上；
（3）在（2）的條件下，求證：直線CD是⊙M的切線．

Answer 1

分析：（1）連接連接AB、BC，作AB和BC的垂直平分線，兩線交于一點(diǎn)，則此點(diǎn)就是圓心M，根據(jù)圖形即可得出答案；
（2）根據(jù)圖形求出B、C的坐標(biāo)，設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C的拋物線的解析式為y=ax²+bx+4，代入B、C的坐標(biāo)求出解析式，把D的坐標(biāo)代入看看兩邊是否相等即可；
（3）設(shè)過(guò)C點(diǎn)與x軸垂直的直線與x軸的交點(diǎn)為E，連接MC，作直線CD，得出CE=2，ME=4，ED=1，MD=5，根據(jù)勾股定理求出MC²=20，CD²=5，推出∠MCD=90°，根據(jù)切線的判定推出即可．

解答：（1）解：連接AB、BC，
作AB和BC的垂直平分線，兩線交于一點(diǎn)，
由圖形可知：這點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，0），
∴圓弧所在圓的圓心M點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，0），
故答案為：（2，0）．

（2）解：由A（0，4），可得小正方形的邊長(zhǎng)為1，從而B（4，4）、C（6，2），
設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C的拋物線的解析式為y=ax²+bx+4，
依題意

4=16a+4b+4 2=36a+6b+4

，解得

a=- 1 6 b= 2 3

，
所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C的拋物線的解析式為y=-

1

6

x2+

2

3

x+4，
∵把點(diǎn)D（7，0）的橫坐標(biāo)x=7代入上述解析式，得y=-

1

6

×49+

2

3

×7+4=

1

2

≠0，
∴點(diǎn)D不在經(jīng)過(guò)A、B、C的拋物線上．

（3）證明：設(shè)過(guò)C點(diǎn)與x軸垂直的直線與x軸的交點(diǎn)為E，連接MC，作直線CD．
則CE=2，ME=4，ED=1，MD=5，
∵在Rt△CEM中，∠CEM=90°，由勾股定理得：MC²=ME²+CE²=4²+2²=20，
在Rt△CED中，∠CED=90°，由勾股定理得：CD²=ED²+CE²=1²+2²=5，
∴MD²=MC²+CD²，
∴∠MCD=90°，
∵M(jìn)C為半徑，
∴直線CD是⊙M的切線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，切線的判定，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，通過(guò)做此題培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力和計(jì)算能力，題目比較典型，但是一道綜合性比較強(qiáng)的題目．