Question

【閱讀理解】：若一條直線l把一個(gè)圖形分成面積相等的兩個(gè)圖形，則稱這樣的直線l叫做這個(gè)圖形的等積直線．如圖①，直線l經(jīng)過三角形ABC的頂點(diǎn)A和邊BC的中點(diǎn)N，易知直線l將△ABC分成兩個(gè)面積相等的圖形，則稱直線l為△ABC的等積直線．

根據(jù)上述內(nèi)容解決以下問題：
（1）如圖②，在矩形ABCD中，直線l經(jīng)過AD、BC邊的中點(diǎn)M、N，請你判斷直線l是否為該矩形的等積直線．______ （填“是”或“否”）并在圖②中再畫出一條該矩形的等積直線；（不必寫作法，保留作圖痕跡）
（2）如圖③，在梯形ABCD中，直線l經(jīng)過AD、BC邊的中點(diǎn)M、N，請你判斷直線l是否為該梯形的等積直線．______；（填“是”或“否”）
（3）在圖③中，過MN的中點(diǎn)O任做一條直線PQ分別交AD，BC于點(diǎn)P，Q（如圖④），猜想PQ是否為該梯形的等積直線，若“是”請證明，若“不是”請說明理由；
【探索應(yīng)用】：
李大爺家有一塊五邊形的土地如圖⑤，已知∠A、∠B、∠C都是直角，AB∥CD，BC∥AE，現(xiàn)決定畫一條線把五邊形土地分為兩
塊，其中一塊地用來改種核桃樹，要求兩塊地面積相同，請你幫李大爺畫出這條線，并判斷這樣的直線有多少條（保留作圖痕跡，不必說明理由）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)局矩形的面積公式即可判斷是等積直線，連接AC與MN相交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O為矩形的中心，過點(diǎn)O的所有直線都是等積直線；
（2）根據(jù)梯形的面積公式可以判斷是等積直線；
（3）可證明△POM≌△QON，于是S_△POM=S_△QON，再利用（2）的結(jié)論可判斷；
探索應(yīng)用：可結(jié)合（2）、（3）兩問的結(jié)論，把五邊形分為矩形和梯形，分別作出兩個(gè)圖形的等積直線，然后再作出等積直線夾在AE、DF，DF、BC之間的線段的中點(diǎn)，過這兩點(diǎn)作等積直線被AE、BC所截的線段的中點(diǎn)O，根據(jù)（3）的結(jié)論，過點(diǎn)O與AE、BC都相交的所有直線都是等積直線．
解答：解：（1）是；如圖所示，直線m即為所求作的另一等積直線；
（說明：只要所畫直線過MN的中點(diǎn)且與AD、BC或AB、CD相交即可．）

（2）是；

（3）是；
證明：∵O是MN的中點(diǎn)，
∴MO=NO，
在梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠PMO=∠QNO，
在△POM和△QON中，
∵，
∴△POM≌△QON（ASA），
∴S_△POM=S_△QON，
又∵M(jìn)N是等積直線，
∴PQ也是等積直線；

探索應(yīng)用：如圖所示，過點(diǎn)O且與線段AE、BC相交的直線均為所求的等積直線，所以有無數(shù)條等積直線．
（說明：過點(diǎn)D作DF∥BC交AB于點(diǎn)F，點(diǎn)G、H、L分別是AE、DF、BC的中點(diǎn)，取線段GH的中點(diǎn)M，線段HL的中點(diǎn)N，過點(diǎn)M、N的直線即為所求的直線m．
設(shè)等積直線m被AE、BC所截線段的中點(diǎn)為O，由（2）（3）可知過點(diǎn)O且與線段AE、BC相交的直線均為所求的等積直線，所以有無數(shù)條等積直線．）
點(diǎn)評：本題考查了應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，讀懂題意，明確等積直線的畫法，并熟練掌握三角形的中線，矩形的性質(zhì)，梯形的面積的求解是解題的關(guān)鍵．