Question

已知：在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=3，BC=4，CD是斜邊AB邊上的高，點(diǎn)E、F分別是AC、BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接DE、DF、EF，且∠EDF=90°．

（1）當(dāng)四邊形CEDF是矩形時(shí)（如圖1），試求EF的長(zhǎng)并直接判斷△DEF與△DAC是否相似．
（2）在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過程中（如圖2），△DEF與△DAC相似嗎？請(qǐng)說明理由；
（3）設(shè)直線DF與直線AC相交于點(diǎn)G，△EFG能否為等腰三角形？若能，請(qǐng)直接寫出線段AE的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）在Rt△ABC中，先利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，然后利用三角形的面積相等即可求出CD的長(zhǎng)，由矩形的性質(zhì)：對(duì)角線相等即可得到EF=CD，問題得解；
（2）△DEF與△DAC相似，首先利用有兩對(duì)角相等的三角形相似證明△FDC∽△DEA，由相似三角形的性質(zhì)可得：

DF

DE

=

DC

DA

，再通過有一對(duì)角相等，夾邊的比值相等的三角形相似即可證明△DEF與△DAC相似；
（3）△EFG能為等腰三角形，因?yàn)榇说妊�三角形的腰和底邊不確定，所以要分兩種情況討論①①在等腰△EFG中，EF=EG；②在等腰△EFG中，EF=GF時(shí)；根據(jù)線段的數(shù)量關(guān)系和勾股定理就可以求出不同情況下的AE的值．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB²=BC²+AC²=4²+3²，
解得：AB=5，
又S_△ABC=

1

2

AB•CD=

1

2

AC•BC=6，
∴CD=

12

AB

=

12

5

，
∵四邊形CEDF是矩形，
∴EF=CD=

12

5

；

（2）△DEF與△DAC相似，理由如下：
∵∠FDE=90°，
∴∠FDC+∠CDE=90，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CDE+∠EDA=90，
∴∠FDC=∠EDA，
∵∠FCD+∠DCA=90，∠A+∠DCA=90，
∴∠FCD=∠A，
∴△FDC∽△DEA，
∴

DF

DE

=

DC

DA

，
又∵∠FDE=∠CDA=90°，
∴△DEF∽△DAC；

（3）△EFG能為等腰三角形，理由如下：
①如圖3：如圖所示：設(shè)AE=x，
在等腰△EFG中，若EF=EG，
∴∠G=∠EFD，
∵∠DFE=∠DCA，
∴∠DCA=∠G，
∴CD=DG，
又∵DF=DG（三線合一）
∴DF=DC，∠CDA=∠EDF=90°，
∴△ACD≌△EFD，
∴EF=AC=3，
∴EF²=AC²
∴

25

9

x²-6x+9=9
解得x=

54

25

，
∴AE=

54

25

，
②如圖4：若EF=GF，
∵EF=FG，EA⊥BC，
∴C為EG中點(diǎn)
∴CD=CE=

12

5

，
∵AC=3，
∴AE=3-

12

5

=

3

5

，
∴△EFG能成為等腰三角形，AE的長(zhǎng)為

3

5

或

54

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，等腰三角形的判定，勾股定理的運(yùn)用以及全等三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，題目的綜合性很強(qiáng)，難度不小．