Question

在邊長(zhǎng)為10的正方形ABCD中，以AB為直徑作半圓O，如圖①，E是半圓上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，連結(jié)DE.

（1）當(dāng)DE=10時(shí)，求證：DE與圓O相切；

（2）求DE的最長(zhǎng)距離和最短距離；

（3）如圖②，建立平面直角坐標(biāo)系，當(dāng)DE =10時(shí)，試求直線DE的解析式.

 

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）或

解析:（1）證明：連結(jié)，

由題意得，------------1分

，，為公共邊

∴ 

∴-------------------2分

（利用勾股定理逆定理相應(yīng)給分）

∴

∴與圓相切.-------------------3分

 

（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)重合的位置時(shí)，

為正方形的對(duì)角線，所以此時(shí)最長(zhǎng)，有：

-----------------4分

當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段與半圓的交點(diǎn)處時(shí)，最短.

-----------------5分

證明如下：

在半圓上任取一個(gè)不與點(diǎn)重合的點(diǎn)，連結(jié)，.

在中，∵  即：，

∵    ∴

∵點(diǎn)是任意一個(gè)不與點(diǎn)重合的點(diǎn)，∴此時(shí)最短.       -----------------6分

∴-------------7分

 

（3）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，DE=DA=10，此時(shí)，直線DE的解析式為y=10；

---------8分

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作GH ⊥軸，分別交，軸于點(diǎn)，，連結(jié).

則四邊形是矩形，且為圓的切線

∴=90°

∴-----------------------9分

又∵

∴∽

∴----------------------10分

設(shè)，則有：，

得：，-----------------------11分

解得：，  即：----------------12分

又直線DE過(guò)點(diǎn)D(10,10),設(shè)直線解析式為，則有：，

解得：，即：

∴當(dāng)時(shí)，直線的解析式為或-----------------------14分

 

以下兩種解法涉及高中知識(shí)，僅供參考：

另解2:

（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，DE=DA=10，此時(shí)，直線DE的解析式為y=10；

（2）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合時(shí)，，

設(shè)直線且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（10，10），代入求得

所以直線DE的解析式為

 

另解3:

依題意得:點(diǎn)O的坐標(biāo)為(0,5),設(shè)直線DE的解析式為

由點(diǎn)到直線的距離公式得: ,即    ①

直線DE過(guò)點(diǎn)D(10,10),得    ②

由①②解得：，解得

所以直線DE的解析式為

（1）如圖1，連接OE，OD，由題意得，DE=DA=10，利用（SSS）判定△AOD≌△EOD，從可得∠OED=∠OAD=90°即可．

（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到與B點(diǎn)重合的位置時(shí)，如圖2，DE為正方形ABCD的對(duì)角線，所以此時(shí)DE最長(zhǎng)，利用勾股定理求得DE，證明當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到線段OD與半圓O的交點(diǎn)處時(shí)，DE最短．然后求得DE=OD-OE即可．

（3）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，DE=DA=10，此時(shí)，直線DE的解析式為y=10；如圖4，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作GH⊥x軸，分別交AD，x軸于點(diǎn)G，H，連接OE．則四邊形AFEG是矩形，且DE為圓O的切線，求證△OFE∽△DGE，利用其對(duì)應(yīng)邊成比例，設(shè)E（m，n），則有：EF=m，OF=OB-FB=5-n求得即可