Question

【題目】在中，，，點(diǎn)是上一點(diǎn)．

（1）如圖，平分．求證：；

（2）如圖，點(diǎn)在線段上，且，，求證：．

（3）如圖，，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于，求證：．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）延長(zhǎng)AC至E，使CE=CD，利用AAS證出△BAD≌△EAD，從而得出AB=AE，即可證出結(jié)論；

（2）過點(diǎn)C作CF⊥EC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接BF，先利用SAS證出△ACE≌△BCF，從而證出AE=BF，∠CEA=∠CFB，再證出∠EFB=90°，利用30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半即可證出結(jié)論；

（3）過點(diǎn)C作CE⊥AM于M，先利用AAS證出△CNA≌△CMB，即可證出CN=CM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得NE=EM，然后利用AAS證出△CED≌△BMD，從而得出ED=DM，然后根據(jù)線段的關(guān)系即可得出結(jié)論．

解：（1）延長(zhǎng)AC至E，使CE=CD

∵，

∴∠ECD=180°－∠ACB=90°，∠B=∠CAB=（180°－∠ACB）=45°

∴△CDE為等腰三角形

∴∠E=45°

∴∠B=∠E

∵平分

∴∠BAD=∠EAD

在△BAD和△EAD中

∴△BAD≌△EAD

∴AB=AE

∵AE=AC＋CE=AC＋CD

∴AB= AC＋CD

（2）過點(diǎn)C作CF⊥EC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接BF

∵∠CED=45°

∴△CEF為等腰直角三角形

∴CE=CF，∠CFE=∠CEF=45°

∵△ABC為等腰直角三角形

∴∠ACB=90°，CA=CB，

∴∠ACE＋∠ECB=90°，∠BCF＋∠ECB=90°

∴∠ACE=∠BCF

在△ACE和△BCF中

∴△ACE≌△BCF

∴AE=BF，∠CEA=∠CFB

∵∠CEA=180°－∠CEF=135°

∴∠CFB=135°

∴∠EFB=∠CFB－∠CFE=90°

在Rt△EFB中，∠BEF=30°

∴BE=2BF

∴BE=2AE

（3）過點(diǎn)C作CE⊥AM于M，

∵△ABC為等腰直角三角形

∴∠ACB=90°，CA=CB

∵CN⊥CM，BM⊥AM

∴∠NCM=90°，∠BMA=90°

∴∠ACN+∠NCB=90°，∠BCM＋∠NCB=90°，

∴∠ACN=∠BCM

∴∠CNA=∠NCM＋∠CMN=90°＋∠CMN=∠CMB

在△CNA和△CMB中

∴△CNA≌△CMB

∴CN=CM

∴△CNM為等腰直角三角形

∴NE=EM

在△CED和△BMD中

∴△CED≌△BMD

∴ED=DM

∴EM=2DM

∴NE=2DM

∴DN=NE＋ED=3DM