Question

（2010•硚口區(qū)模擬）在△ABC中，BD是△ABC的中線，點(diǎn)P為BD上一點(diǎn)，且BP=2PD，過點(diǎn)P作MN∥BC交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N．
（1）如圖一，若BA=BC，寫出圖中所有與PM相等的線段，并分別給出證明；
（2）如圖二，過BA≠BC，在（1）中與PM相等的線段中找出一條仍然與PM相等的線段，并給出證明．

Answer 1

分析：（1）首先過點(diǎn)M作ME∥AC，由在△ABC中，BD是△ABC的中線，BA=BC，根據(jù)三線合一的性質(zhì)，可得BD是高，是角平分線，又由MN∥BC，易證得△PMB是等腰三角形，即可得PM=BM，然后證得PE=PD，即可證得△PME≌△PND，繼而證得PM=PN；
（2）首先過點(diǎn)M作ME∥AC，根據(jù)平行線分線段成比例定理，易證得ME=DN=

1

3

CD，則可證得△PME≌△PND，繼而證得PM=PN．

解答：解：（1）PM=PN=BM．
證明：過點(diǎn)M作ME∥AC，
∵BA=BC，BD是△ABC的中線，
∴BD⊥AB，∠ABD=∠CBD，
∴BD⊥ME，
∵M(jìn)N∥BC，
∴∠CBD=∠MPB，
∴∠ABD=∠MPB，
∴PM=BM；
∴BE=PE=

1

2

PB，
∵BP=2PD，
即PD=

1

2

PB，
∴PD=PE，
在△PME和△PND中，

∠PEM=∠PDN=90° ∠MPE=∠NPD PE=PD

∴△PME≌△PND（AAS），
∴PM=PN．
∴PM=PN=BM．

（2）PM=PN．
證明：過點(diǎn)M作ME∥AC，
∴

ME

AD

=

BM

BA

，
∵M(jìn)N∥BC，
∴

DN

DC

=

PD

DB

，
∵PB=2PD，
∴

PD

DB

=

1

3

，
∴DN：DC=1：3，
即CD=3DN，
∵BD是△ABC的中線，
∴AD=CD，
∴CN：AC=1：3，
∴

BM

BA

=

CN

CA

=

1

3

，
∴

EM

AD

=

BM

BA

=

1

3

，
即AD=3EM，
∴CD=3EM，
∴EM=DN，
∵M(jìn)E∥AC，
∴∠PME=∠PND，
在△PEM和△PDN中，

∠PME=∠PND ∠MPE=∠NPD ME=ND

，
∴△PEM≌△PDN（AAS），
∴PM=PN．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行線分線段成比例定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，利用數(shù)形結(jié)合思想求解．