Question

（2010•高淳縣一模）已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．以AC上一點(diǎn)O為圓心的⊙O與BC相切于點(diǎn)C，與AC相交于點(diǎn)D．
（1）如圖1，若⊙O與AB相切于點(diǎn)E，求⊙O的半徑；
（2）如圖2，若⊙O在AB邊上截得的弦FG=，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于AB和圓相切，所以連接OE，利用相似即可求出OE．
（2）已知弦長(zhǎng)，求半徑，要做弦的弦心距，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出未知量．
解答：解：（1）連接OE，因?yàn)椤袿與AB相切于點(diǎn)E，所以O(shè)E⊥AB，
設(shè)OE=x，則CO=x，AO=4-x，
∵⊙O與AB相切于點(diǎn)E，
∴∠AEO=90°，
∵∠A=∠A，∠AEO=∠ACB=90°，
∴Rt△AOE∽R(shí)t△ABC，
∴，
∴，
解得：x=，
∴⊙O的半徑為．
（2）過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB，垂足為點(diǎn)H，則H為FG的中點(diǎn)，F(xiàn)H=FG=，

連接OF，設(shè)OF=x，則OA=4-x，
由Rt△AOH∽R(shí)t△ABC可得OH=，
在Rt△OHF中，據(jù)勾股定理得：OF²=FH²+OH²，
∴x²=（）²+（）²，
解得x₁=，x₂=（舍去），
∴⊙O的半徑為．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了切線的性質(zhì)，相似三角形，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用．是一道運(yùn)用切線性質(zhì)解題的典型題目，難度中等．