Question

如圖，在梯形ABCD中，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，如果直線AB上的點(diǎn)P使得以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似，那么這樣的點(diǎn)P有    個(gè)．

Answer 1

【答案】分析：分三種情況進(jìn)行分析即可：①若點(diǎn)P在線段AB上；②若點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上；③若點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上．
解答：解：①若點(diǎn)P在線段AB上，

∵∠A=∠B=90°
∴當(dāng)時(shí)，△PAD∽△PBC
∴，解得PA=x=；
當(dāng)時(shí)，△PAD∽△CBP
∴，
∴x²-7x+6=0，
∴（x-6）（x-1）=0，
解得：PA=x=1或6；

②若點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上，


∵∠PAD=∠B=90°
當(dāng)PA：PB=AD：BC時(shí)，△PAD∽△PBC
∴，解得：PA=x=14；

當(dāng)時(shí)，△PAD∽△CBP
∴，
∴x²+7x-6=0，
解得：PA=x=；

③

若點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，
∵∠A=∠CBP=90°
∴當(dāng)AD：PB=PA：BC時(shí)，△PAD∽△CBP
∴，
∴x²-7x-6=0，
解得：PA=x=，
綜上，滿足題意的P有6種情況．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定：
①如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；
②如果兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；
③如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長(zhǎng)線所組成的三角形與原三角形相似．