Question

已知：A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，點(diǎn)M、N分別是線段AC、BC的中點(diǎn)．
（1）如圖，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，
①填空：當(dāng)AC=8cm，CB=6cm時(shí)，則線段MN的長(zhǎng)度為

 

cm；
②當(dāng)AB=acm時(shí)，求線段MN的長(zhǎng)度，并用一句簡(jiǎn)潔的話描述你的發(fā)現(xiàn)．

（2）若C為線段AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，則第（1）題第②小題中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)你畫(huà)出圖形，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：本題的解題的關(guān)鍵是按利用中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系．
（1）①由M、N分別是線段AC、BC的中點(diǎn)可得出MC，NC分別是AC，BC的一半，因此MC與NC的和就是AC與BC和的一半．有AC，BC的值，就能求出MN的長(zhǎng)度了；
②方法同①我們發(fā)現(xiàn)不論AC，BC的值是什么，MN=

1

2

AB的結(jié)論還是一樣的，只不過(guò)AC和BC的值換成了AB=a，因此MN=

1

2

a．因此可得出不論AB的取何值，MN的長(zhǎng)都是AB的一半．
（2）C是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，由M、N分別是線段AC，BC的中點(diǎn)可得出MC，NC分別是AC，BC的一半，因此，MC，NC的差的一半就等于AC，BC差的一半，因?yàn)�，MN=MC-NC，AB=AC-BC，根據(jù)上面的分析可得出MN=

1

2

AB．因此①②的結(jié)論是成立的．

解答：解：（1）①M(fèi)N=MC+CN=

1

2

AC+

1

2

CB=4+3=7；
②∵點(diǎn)M、N分別是線段AC、BC的中點(diǎn)
∴MC=

1

2

AC，CN=

1

2

CB
∴MN=MC+CN=

1

2

AC+

1

2

CB=

1

2

（AC+CB）=

1

2

AB=

1

2

acm
發(fā)現(xiàn)：不論線段AB取何值，線段MN的長(zhǎng)恒等于線段AB長(zhǎng)的一半．

（2）如圖，C為線段AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，M是線段AC的中點(diǎn)，N是線段BC的中點(diǎn)，
則結(jié)論MN=

1

2

AB仍然成立．

理由：∵點(diǎn)M、N分別是線段AC、BC的中點(diǎn)
∴MC=

1

2

AC，CN=

1

2

CB
∴MN=MC-CN=

1

2

AC-

1

2

CB=

1

2

（AC-CB）=

1

2

AB．

點(diǎn)評(píng)：利用中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在不同的情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡(jiǎn)潔性．同時(shí)，靈活運(yùn)用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系也是十分關(guān)鍵的一點(diǎn)．