Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm．現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CB也向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)．如果點(diǎn)P的速度是4cm/秒，點(diǎn)Q的速度是2cm/秒，它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)所在線段的端點(diǎn)時(shí)，就停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
求：（1）用含t的代數(shù)式表示Rt△CPQ的面積S；
（2）當(dāng)t=3秒時(shí)，P、Q兩點(diǎn)之間的距離是多少？
（3）當(dāng)t為多少秒時(shí)，以點(diǎn)C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？

Answer 1

【答案】分析：（1）由點(diǎn)P，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度和運(yùn)動(dòng)時(shí)間，又知AC，BC的長(zhǎng)，可將CP、CQ用含t的表達(dá)式求出，代入直角三角形面積公式S_△CPQ=CP×CQ求解；
（2）在Rt△CPQ中，由（1）可知CP、CQ的長(zhǎng)，運(yùn)用勾股定理可將PQ的長(zhǎng)求出；
（3）應(yīng)分兩種情況，當(dāng)Rt△CPQ∽R(shí)t△CAB時(shí)，根據(jù)=，可將時(shí)間t求出；當(dāng)Rt△CPQ∽R(shí)t△CBA時(shí)，根據(jù)=，可求出時(shí)間t．
解答：解：（1）由題意得AP=4t，CQ=2t，則CP=20-4t，
因此Rt△CPQ的面積為S=cm²；

（2）當(dāng)t=3秒時(shí)，CP=20-4t=8cm，CQ=2t=6cm，
由勾股定理得PQ=；

（3）分兩種情況：
①當(dāng)Rt△CPQ∽R(shí)t△CAB時(shí)，，即，解得t=3秒；
②當(dāng)Rt△CPQ∽R(shí)t△CBA時(shí)，，即，解得t=秒．
因此t=3秒或t=秒時(shí)，以點(diǎn)C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形性質(zhì)的運(yùn)用，在解第三問(wèn)時(shí)應(yīng)分兩種情況進(jìn)行求解，在解題過(guò)程應(yīng)防止漏解或錯(cuò)解．