Question

（2012•濱州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-2，-4），O（0，0），B（2，0）三點．
（1）求拋物線y=ax²+bx+c的解析式；
（2）若點M是該拋物線對稱軸上的一點，求AM+OM的最小值．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線上不同的三點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出該拋物線的解析．
（2）根據(jù)O、B點的坐標(biāo)發(fā)現(xiàn)：拋物線上，O、B兩點正好關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，那么只需連接A、B，直線AB和拋物線對稱軸的交點即為符合要求的M點，而AM+OM的最小值正好是AB的長．

解答：解：（1）把A（-2，-4），O（0，0），B（2，0）三點的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+c中，得

4a-2b+c=-4 4a+2b+c=0 c=0

解這個方程組，得a=-

1

2

，b=1，c=0
所以解析式為y=-

1

2

x²+x．

（2）由y=-

1

2

x²+x=-

1

2

（x-1）²+

1

2

，可得
拋物線的對稱軸為直線x=1，并且對稱軸垂直平分線段OB
∴OM=BM
∴OM+AM=BM+AM
連接AB交直線x=1于M點，則此時OM+AM最小
過點A作AN⊥x軸于點N，
在Rt△ABN中，AB=

AN2+BN2

=

42+42

=4

2

，
因此OM+AM最小值為4

2

．

點評：此題在二次函數(shù)的綜合類型題中難度適中，難點在于點M位置的確定，正確理解二次函數(shù)的軸對稱性以及兩點之間線段最短是解題的關(guān)鍵．