Question

如圖，在四邊形ABCD中，設(shè)∠BAD+∠ADC=270°，且E、F分別為AD、BC的中點，EF=4，陰影部分分別是以AB、CD為直徑的半圓，則這兩個半圓面積的和是

 

（圓周率為π）．

Answer 1

分析：連接BD，取BD的中點M，連接EM、FM，EM交BC于N，根據(jù)三角形的中位線定理推出EM=

1

2

AB，F(xiàn)M=

1

2

CD，EM∥AB，F(xiàn)M∥CD，推出∠ABC=∠ENC，∠MFN=∠C，求出∠EMF=90°，根據(jù)勾股定理求出ME²+FM²=16，根據(jù)圓的面積公式求出陰影部分的面積即可．

解答：解：連接BD，取BD的中點M，連接EM、FM，延長EM交BC于N，
∵∠BAD+∠ADC=270°，
∴∠ABC+∠C=360°-270°=90°，
∵E、F、M分別是AD、BC、BD的中點，
∴EM=

1

2

AB，F(xiàn)M=

1

2

CD，EM∥AB，F(xiàn)M∥CD，
∴∠ABC=∠ENC，∠MFN=∠C，
∴∠MNF+∠MFN=90°，
∴∠NMF=180°-90°=90°，
∴∠EMF=90°，
由勾股定理得：ME²+FM²=EF²=4²=16，
∴陰影部分的面積是：

1

2

π(

AB

2

)2+

1

2

π(

CD

2

)2=

1

2

π×（ME²+FM²）=

1

2

π×16=8π．
故答案為：8π．

點評：本題主要考查對勾股定理，三角形的內(nèi)角和定理，多邊形的內(nèi)角和定理，三角形的中位線定理，圓的面積，平行線的性質(zhì)，面積與等積變形等知識點的理解和掌握，能正確作輔助線并求出ME²+FM²的值是解此題的關(guān)鍵．