將一矩形紙片OABC放在直角坐標(biāo)系中,O為原點,C在x軸上,OA=6,OC=10.精英家教網(wǎng)
(1)如圖(1),在OA上取一點E,將△EOC沿EC折疊,使O點落在AB邊上的D點,求E點的坐標(biāo);
(2)如圖(2),在OA、OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞cE′、F,將△E′OF沿E′F折疊,使O點落在AB邊上的D′點,過D′作D′G⊥C′O交E′F于T點,交OC′于G點,求證:TG=A′E′.
(3)在(2)的條件下,設(shè)T(x,y)①探求:y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.②指出變量x的取值范圍.
(4)如圖(3),如果將矩形OABC變?yōu)槠叫兴倪呅蜲A″B″C″,使O C″=10,O C″邊上的高等于6,其它條件均不變,探求:這時T(x,y)的坐標(biāo)y與x之間是否仍然滿足(3)中所得的函數(shù)關(guān)系,若滿足,請說明理由;若不滿足,寫出你認(rèn)為正確的函數(shù)關(guān)系式.
分析:(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出DE=OE,OC=CD,如果設(shè)出E點的坐標(biāo),可用E的縱坐標(biāo)表示出AE,ED的長,可根據(jù)相似三角形ADE和CDB得出的關(guān)于AE、BC、AD、BD的比例關(guān)系式求出E點的縱坐標(biāo).也就求出了E的坐標(biāo);
(2)本題可通過證D′T=OE′來求出,如果連接OD′,那么E′F必垂直平分OD′,如果設(shè)OD′與E′F的交點為P,那么OP=D′P,△OE′P≌△D′PT,可得D′T=OE′.由此可證得A′E′=TG.
(3)可先根據(jù)T的坐標(biāo)表示出A′D′,A′E′,然后可在直角三角形A′D′E′中表示出D′E′,而D′E′又可用A′O-A′E′表示.可以此來求出y,x的函數(shù)關(guān)系式.
在(1)中給出的情況就是x的最小值的狀況,可根據(jù)AD的長求出x的最小值,當(dāng)x取最大值時,E′F平分∠OAB,即E′與A′重合,四邊形E′OGD為正方形,可據(jù)此求出此時x的值.有了x的最大和最小取值即可求出x的取值范圍.
(4)(2)(3)得出的結(jié)論均成立,證法同上.
解答:解:(1)方法1:設(shè)OE=m或E(0,m),則AE=6-m,OE=m,CD=10
由勾股定理得BD=8,則AD=2.
在△ADE中由勾股定理得(6-m)2+22=m2,
解得m=
10
3

∴點E的坐標(biāo)為(0,
10
3

方法2:設(shè)OE=m或E(0,m),則AE=6-m,OE=m,CD=10.
由勾股定理得BD=8,則AD=2.
由∠EDC=∠EAD=90°,得∠AED=∠CDB,△ADE∽△BCD.
6-m
8
=
2
6
,
解得m=
10
3
,
∴點E的坐標(biāo)為(0,
10
3
).

(2)連接OD′交E'F于P,由折疊可知E'F垂直平分OD'即OP=PD',精英家教網(wǎng)
由OE'∥D'G,從而得出OE'=D'T.
從而AE'=TG.

(3)①
連接OT,OD′,交FE′于點P,
由(2)可得OT=D'T,
由勾股定理可得x2+y2=(6-y)2
得y=-
1
12
x2+3.
②結(jié)合(1)可得AD'=OG=2時,x最小,從而x≥2,
當(dāng)E'F恰好平分∠OAB時,AD'最大即x最大,
此時G點與F點重合,四邊形AOFD'為正方形,
故x最大為6.
從而x≤6,2≤x≤6.

(4)y與x之間仍然滿足(3)中所得的函數(shù)關(guān)系式.
理由:連接OT'仍然可得OT'=D''T',
由勾股定理可得,
即x2+y2=(6-y)2
從而(3)中所得的函數(shù)關(guān)系式仍然成立.
點評:本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、圖形翻折變換、三角形全等、勾股定理、平行四邊形和矩形的性質(zhì)等知識點,綜合性強(qiáng),考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

將一矩形紙片OABC放在平面直角坐標(biāo)系中,O為頂點,點A在x軸上,點C在y軸上,OA=10,OC=8.
(1)如右上圖,在OC邊上取一點D,將△BCD沿BD折疊,使點C恰好落在OA邊上,記作點E.
①求點E的坐標(biāo)及折痕BD的長;
②在x軸上取兩點M,N(點M在點N的左側(cè)),且MN=4.5,求使四邊形BDMN的周長最短的點M和點N的坐標(biāo);
(2)如右下圖,在OC,BC邊上分別取點F,G,將△GCF沿GF折疊,使點C恰好落在OA邊上,記作點H.設(shè)OH=x,四邊形OHGC的面積為S,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.
精英家教網(wǎng)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

將一矩形紙片OABC放在平面直角坐標(biāo)系中,O(0,0),A(6,0),C(0,3).動點Q從點O出發(fā)以每秒1個單位長的速度沿OC向終點C運(yùn)動,運(yùn)動
23
秒時,動點P從點A出發(fā)以相等的速度沿AO向終點O運(yùn)動.當(dāng)其中一點到達(dá)終點時,另一點也停止運(yùn)動.設(shè)點P的運(yùn)動時間為t(秒).
(1)用含t的代數(shù)式表示OP,OQ;
(2)當(dāng)t=1時,如圖1,將沿△OPQ沿PQ翻折,點O恰好落在CB邊上的點D處,求點D的坐標(biāo);
(3)連接AC,將△OPQ沿PQ翻折,得到△EPQ,如圖2.問:PQ與AC能否平行?PE與AC能否垂直?若能,求出相應(yīng)的t值;若不能,說明理由.
精英家教網(wǎng)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

將一矩形紙片OABC放在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點,點A在x軸上,點C在y軸上,OA=10,精英家教網(wǎng)OC=8,如圖在OC邊上取一點D,將△BCD沿BD折疊,使點C恰好落在OA邊上,記作E點;
(1)求點E的坐標(biāo)及折痕DB的長;
(2)在x軸上取兩點M、N(點M在點N的左側(cè)),且MN=4.5,求使四邊形BDMN的周長最短的點M、點N的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•大港區(qū)一模)將一矩形紙片OABC放在直角坐標(biāo)系中,O為原點,C在x軸上,OA=6,OC=10.

(1)如圖(1),在OA上取一點E,將△EOC沿EC折疊,使O點落在AB邊上的D點,求E點的坐標(biāo);
(2)如圖(2),在OA、OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞cE′、F,將△E′OF沿E′F折疊,使O點落在AB邊上D′點,過D′作D′G∥AO交E′F于T點,交OC于G點,求證:TG=AE′;
(3)在(2)的條件下,設(shè)T(x,y).①探求:y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.②指出變量x的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案