Question

已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∠ADC=60°，等邊△AEF兩邊分別交DC、CB于點(diǎn)E、F．
（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點(diǎn)E、F分別是邊DC、CB的中點(diǎn)，求證：菱形ABCD對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)O即為等邊△AEF的外心；
（2）若點(diǎn)E、F始終分別在邊DC、CB上移動(dòng)，記等邊△AEF的外心為P． ①猜想驗(yàn)證：如圖2，猜想△AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明；②拓展運(yùn)用：如圖3，當(dāng)E、F分別是邊DC、CB的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P任作一直線，分別交DA邊于點(diǎn)M，BC邊于點(diǎn)G，DC邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，請(qǐng)你直接寫出

1

DM

+

1

DN

的值．

Answer 1

分析：（1）連接OE、0F，由四邊形ABCD是菱形，得出AC⊥BD，BD平分∠ADC，AD=DC=BC，又由E、F分別為DC、CB中點(diǎn)，證得0E=OF=OA，則可得點(diǎn)O即為△AEF的外心；
（2）①連接PE、PA，過(guò)點(diǎn)P分別作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，求出∠IPJ的度數(shù)，又由點(diǎn)P是等邊△AEF的外心，易證得△PIE≌△PJA，可得PI=PJ，即點(diǎn)P在∠ADC的平分線上，即點(diǎn)P落在直線DB上；
②連接BD、AC交于點(diǎn)P，由（1）可得點(diǎn)P即為△AEF的外心．設(shè)DM=x，DN=y（x≠0，y≠O），則CN=y-1，先利用AAS證明△GBP≌△MDP，得出BG=DM=x，CG=1-x，再由BC∥DA，得出△NCG∽△NDM，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出

CN

DN

=

CG

DM

，進(jìn)而求出

1

DM

+

1

DN

為定值2．

解答：（1）證明：如圖1，連接OE、0F，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD平分∠ADC，AD=DC=BC，
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．
∠ADO=

1

2

∠ADC=

1

2

×60°=30°，
又∵E、F分別為DC、CB中點(diǎn)，
∴OE=

1

2

CD，OF=

1

2

BC，AO=

1

2

AD，
∴0E=OF=OA，
∴點(diǎn)O即為△AEF的外心；

（2）解：①猜想：外心P一定落在直線DB上．理由如下：
如圖2，分別連接PE、PA，過(guò)點(diǎn)P分別作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，
∴∠PIE=∠PJD=90°，
∵∠ADC=60°，
∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°，
∵點(diǎn)P是等邊△AEF的外心，
∴∠EPA=120°，PE=PA，
∴∠IPJ=∠EPA，
∴∠IPE=∠JPA，
∴△PIE≌△PJA，
∴PI=PJ，
∴點(diǎn)P在∠ADC的平分線上，即點(diǎn)P落在直線DB上；
②

1

DM

+

1

DN

為定值2．
連接BD、AC交于點(diǎn)P，由（1）可得點(diǎn)P即為△AEF的外心．
如圖3，設(shè)MN交BC于點(diǎn)G，
設(shè)DM=x，DN=y（x≠0，y≠O），則CN=y-1，
∵BC∥DA，
∴∠GBP=∠MDP，∠BGP=∠DMP，
又由（1）知BP=DP，
∴△GBP≌△MDP（AAS），
∴BG=DM=x，
∴CG=1-x．
∵BC∥DA，
∴△NCG∽△NDM，
∴

CN

DN

=

CG

DM

，
∴

y-1

y

=

1-x

x

，
∴x+y=2xy，
∴

1

x

+

1

y

=2，
即

1

DM

+

1

DN

=2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外心的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，圖形也比較復(fù)雜，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．