Question

在如圖所示的平面直角坐標系中，已知點A（2，4），B（4，2）．
（1）在平面直角坐標系中，我們把橫坐標、縱坐標都為整數的點稱為整數點，請在第一象限內求作一個整數點C，使得AC=BC，且AC的長為小于4的無理數，則C點的坐標是______，△ABC的面積是______；
（2）試求出△ABC外接圓的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）作AB的垂直平分線，C在AB的垂直平分線上，由此得出答案，把△ABC的面積轉化成能用點的坐標求的規(guī)則圖形的面積如圖，即可求出答案；
（2）作AB邊上的高CD，設半徑r，由勾股定理列出方程，即可求出答案．
解答：解：（1）作AB的垂直平分線，從圖形中可以看出C點的坐標是C₁（1，1），C₂（5，5）
過A作AH⊥Y軸于H，過B作BM⊥Y軸于M，BF⊥X軸于F，過C作CG⊥Y軸于G，CE⊥X軸于E，
當C₁（1，1）時，S_△ABC=S_梯形AHMB+S_矩形BMOF-S_梯形AHGC-S_{正方形OGCE}-S_梯形CEFB，
=×（2+4）×2+4×2-×（1+2）×（4-1）-1×1-×（1+2）×（4-1），
=4；
當C₂（5，5）時，同法可求S_△ABC=4；
故答案為：（1，1）和（5，5），4．

（2）如圖，在△ABC中，作CD⊥AB于D，連接AE，E為圓心，
∵由勾股定理得：AC=BC=，AB=2，
∴CD=2，
設半徑AE=CE=x，則x²=（）²+（2-x）²，
∴半徑x=．
答：△ABC外接圓的半徑是．
點評：本題主要考查了三角形的外接圓和外心，坐標與圖形性質，等腰三角形的性質，勾股定理等知識點，解此題的關鍵是把不規(guī)則的圖形轉化成規(guī)則的圖形利用坐標求出面積，用的數學思想是分類討論思想和方程思想．