Question

已知：拋物線y=-x²+2x+m-2交y軸于點A（0，2m-7）．與直線y=2x交于點B、C（B在右、C在左）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設拋物線的頂點為E，在拋物線的對稱軸上是否存在一點F，使得∠BFE=∠CFE？若存在，求出點F的坐標；若不存在，說明理由；
（3）射線OC上有兩個動點P、Q同時從原點出發(fā)，分別以每秒個單位長度、每秒2個單位長度的速度沿射線OC運動，以PQ為斜邊在直線BC的上方作直角三角形PMQ（直角邊分別平行于坐標軸），設運動時間為t秒，若△PMQ與拋物線y=-x²+2x+m-2有公共點，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A（0，2m-7）代入解析式求出m的值即可；
（2）將y=-x²+2x+3與y=2x聯(lián)立求出兩圖象的交點坐標，得出B點對稱點B′坐標，進而得出直線B'C的解析式，再將x=1代入，求出F點坐標即可；
（3）分當M（-2t，-2t）在拋物線上時；當P（-t，-2t）在拋物線上時；分別代入求出t的值，即可得出△PMQ與拋物線y=-x²+2x+m-2有公共點時，t的取值范圍．
解答：解：（1）點A（0，2m-7）代入y=-x²+2x+m-2，
m-2=2m-7，
解得：m=5
故拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；

（2）如圖1，由，
得，
∴B（，2），C（-，-2）
B（，2），關于拋物線對稱軸x=1的對稱點為B′（2-，2），
將B′，C代入y=kx+b，得：
，
解得：，
可得直線B'C的解析式為：，
由，可得，
故當F（1，6）使得∠BFE=∠CFE；

（3）如圖2，當t秒時，P點橫坐標為-t，則縱坐標為-2t，則M（-2t，-2t）在拋物線上時，可得-（-2t） ²-4t+3=-2t，整理得出：4t²+2t-3=0，
解得：，
當P（-t，-2t）在拋物線上時，可得-t²-2t+3=-2t，整理得出：t²=3，
解得：，舍去負值，
所以若△PMQ與拋物線y=-x²+2x+m-2有公共點t的取值范圍是．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及函數交點求法和圖象上點的坐標性質，根據數形結合得出解題方法是解題關鍵．