Question

如圖，已知直線l：y=kx+2，k＜0，與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，以O(shè)A為直徑的⊙P交l于另一點(diǎn)D，把弧AD沿直線l翻轉(zhuǎn)后與OA交于點(diǎn)E．
（1）當(dāng)k=-2時(shí)，求OE的長；
（2）是否存在實(shí)數(shù)k，k＜0，使沿直線l把弧AD翻轉(zhuǎn)后所得的弧與OA相切？若存在，請求出此時(shí)k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）知道了k的值也就知道了直線l的解析式，那么A，B的坐標(biāo)也就可以求出了，這樣就知道了OA，OB的長，運(yùn)用勾股定理就能求出AB的長．三角形EDO中，∠ADE=∠AOD那么ODE就是個(gè)等腰三角形，如果點(diǎn)D作DC⊥AO于點(diǎn)C，OC=

1

2

OE，那么求出OC就能求出OE，因?yàn)镈C，OB同時(shí)垂直O(jiān)A，因此DC∥OB，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得出OC，BD，OA，AB的比例關(guān)系式，已知了OA，AB的值，那么可得出OC，BD的比例關(guān)系，那么求BD的長就是解題的關(guān)鍵所在，根據(jù)切割線定理，OB²=BD•BA，據(jù)此可求出BD的長，那么就可以求出OC和OE的長了．
（2）要使沿直線l把弧AD翻轉(zhuǎn)后所得的弧與OA相切，那么切點(diǎn)就應(yīng)該是A，那么E點(diǎn)就和A點(diǎn)重合了，根據(jù)（1）可知道OD=DA（OD=DE），又可知∠ADO=90°，那么OA=OB，根據(jù)直線的函數(shù)式我們知道A為（0，2），因此B就是（2，0）然后根據(jù)這兩點(diǎn)判斷出此時(shí)k的取值即可．

解答：解：（1）如圖所示，
由∠DEO=∠EAD+∠ADE=

1

2

弧AED的度數(shù)=

1

2

弧AmD的度數(shù)=∠AOD，
∴OD=DE，
當(dāng)k=-2時(shí)，易得A（0，2），B（1，0），OA=2，OB=1，則AB=

5

，
∵BO與⊙P切于點(diǎn)O，
∴OB²=BD•AB?BD=

5

5

，
過點(diǎn)D作DC⊥AO于點(diǎn)C，
∵DE=DO，
∴OE=2OC，DC∥OB，
從而，有

OC

OA

=

BD

BA

?

OC

2

=

5 5

5

?OC=

2

5

，
故OE=

4

5

．

（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k使得弧AD沿直線l翻轉(zhuǎn)后所得弧與OA相切，則切點(diǎn)必為A，即E與A重合，由（1）知OD=AD．
又因?yàn)椤螦DO=90°，所以∠OAD=45°，
此時(shí)，OB=OA=2，B（2，0），
∴k=-1，
故存在k=-1，使得弧AD沿直l翻轉(zhuǎn)后所得弧與OA相切．

點(diǎn)評：本題結(jié)合一次函數(shù)考查了圓在坐標(biāo)系的變換情況．