Question

（2009•北京）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分線(xiàn)，BM平分∠ABC交AE于點(diǎn)M，經(jīng)過(guò)B，M兩點(diǎn)的⊙O交BC于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)F，F(xiàn)B恰為⊙O的直徑．
（1）求證：AE與⊙O相切；
（2）當(dāng)BC=4，cosC=時(shí)，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OM，證明OM∥BE，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)說(shuō)明AE⊥BE，進(jìn)而證明OM⊥AE；
（2）結(jié)合已知求出AB，再證明△AOM∽△ABE，利用相似三角形的性質(zhì)計(jì)算．
解答：（1）證明：連接OM，則OM=OB
∴∠1=∠2
∵BM平分∠ABC
∴∠1=∠3
∴∠2=∠3
∴OM∥BC
∴∠AMO=∠AEB
在△ABC中，AB=AC，AE是角平分線(xiàn)
∴AE⊥BC
∴∠AEB=90°
∴∠AMO=90°
∴OM⊥AE
∵點(diǎn)M在圓O上，
∴AE與⊙O相切；

（2）解：在△ABC中，AB=AC，AE是角平分線(xiàn)
∴BE=BC，∠ABC=∠C
∵BC=4，cosC=
∴BE=2，cos∠ABC=
在△ABE中，∠AEB=90°
∴AB==6
設(shè)⊙O的半徑為r，則AO=6-r
∵OM∥BC
∴△AOM∽△ABE
∴
∴
解得
∴⊙O的半徑為．
點(diǎn)評(píng)：本題是小綜合題，考查等腰三角形，平行線(xiàn)，角平分線(xiàn)，直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，相似三角形等知識(shí)點(diǎn)．