(2010•襄陽(yáng))如圖,已知:AC是⊙O的直徑,PA⊥AC,連接OP,弦CB∥OP,直線PB交直線AC于D,BD=2PA.
(1)證明:直線PB是⊙O的切線;
(2)探究線段PO與線段BC之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明;
(3)求sin∠OPA的值.

【答案】分析:(1)連接OB.證OB⊥PB即可.通過(guò)證明△POB≌△POA得證.
(2)根據(jù)切線長(zhǎng)定理PA=PB.BD=2PA,則BD=2PB,即BD:PD=2:3.
根據(jù)BC∥OP可得△DBC∽△DPO,從而得出線段PO與線段BC之間的數(shù)量關(guān)系.
(3)根據(jù)三角函數(shù)的定義即求半徑與OP的比值.設(shè)OA=x,PA=y.則OD=3x,OB=x,BD=2y.在△BOD中可求y與x的關(guān)系,進(jìn)而在△POB中求OP與x的關(guān)系,從而求比值得解.
解答:(1)證明:連接OB.
∵BC∥OP,
∴∠BCO=∠POA,∠CBO=∠POB,
∴∠POA=∠POB,(1分)
又∵PO=PO,OB=OA,
∴△POB≌△POA.                                            (3分)
∴∠PBO=∠PAO=90°.
∴PB是⊙O的切線.                                           (4分)

(2)解:2PO=3BC.(寫PO=BC亦可)
證明:∵△POB≌△POA,∴PB=PA.                             (5分)
∵BD=2PA,∴BD=2PB.
∵BC∥PO,∴△DBC∽△DPO.                                   (6分)
,
∴2PO=3BC.                                                 (7分)

(3)解:∵CB∥OP,
∴△DBC∽△DPO,
,
即DC=OD.
∴OC=OD,
∴DC=2OC.                                                (8分)
設(shè)OA=x,PA=y.則OD=3x,OB=x,BD=2y.
在Rt△OBD中,由勾股定理得(3x)2=x2+(2y)2,即2x2=y2
∵x>0,y>0,
∴y=x,OP==x.                             (9分)
∴sin∠OPA====.                           (10分)
點(diǎn)評(píng):此題考查了切線的判定、切線長(zhǎng)定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn),綜合性強(qiáng),難度大.
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(1)求拋物線的解析式;
(2)若拋物線的對(duì)稱軸與AB交于點(diǎn)E,與x軸交于點(diǎn)F,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為何值時(shí),四邊形POQE是等腰梯形?
(3)當(dāng)t為何值時(shí),以P、B、O為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q、B、O為頂點(diǎn)的三角形相似?

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(1)求拋物線的解析式;
(2)若拋物線的對(duì)稱軸與AB交于點(diǎn)E,與x軸交于點(diǎn)F,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為何值時(shí),四邊形POQE是等腰梯形?
(3)當(dāng)t為何值時(shí),以P、B、O為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q、B、O為頂點(diǎn)的三角形相似?

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