Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線：y＝－2x＋b (b≥0)的位置隨b的不同取值而變化．

(1)已知⊙M的圓心坐標(biāo)為(4，2)，半徑為2.

當(dāng)b＝________時(shí)，直線：y＝－2x＋b (b≥0)經(jīng)過圓心M：

當(dāng)b＝________時(shí)，直線：y＝－2x＋b(b≥0)與OM相切：

(2)若把⊙M換成矩形ABCD，其三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：A(2，0)、B(6，0)、C(6，2)．設(shè)直線掃過矩形ABCD的面積為S，當(dāng)b由小到大變化時(shí)，請(qǐng)求出S與b的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析　(1)①∵直線y＝－2x＋b (b≥0)經(jīng)過圓心M(4，2)，∴2＝－2×4＋b，解得b＝10.

②如圖，作點(diǎn)M垂直于直線y＝－2x＋b于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PH∥x軸，過點(diǎn)M作MH⊥PH，二者交于點(diǎn)H.設(shè)直線y＝－2x＋b與x，y軸分別交于點(diǎn)A，B.

則由△OAB∽△HMP，得＝＝.

∴可設(shè)直線MP的解析式為y＝x＋b₁.

由M(4，2)，得2＝·4＋b₁，解得b₁＝0.

∴直線MP的解析式為y＝x.

聯(lián)立y＝－2x＋b和y＝x，

解得x＝b，y＝b.∴P.

由PM＝2，勾股定理得，

＋＝4，

化簡(jiǎn)得4b²－20b＋80＝0.解得b＝10±2.

(2)求出直線經(jīng)過點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)時(shí)b的值，從而分0≤b≤4，4＜b≤6，6＜b≤12，12＜b≤14，b＞14五種情況分別討論即可．

 解　(1)10　10±2

(2)由A(2，0)、B(6，0)、C(6，2)，根據(jù)矩形的性質(zhì)，得D(2，2)．

如圖，當(dāng)直線經(jīng)過A(2，0)時(shí)，b＝4；當(dāng)直線經(jīng)過D(2，2)時(shí)，b＝6；當(dāng)直線經(jīng)過B(6，0)時(shí)，b＝12；當(dāng)直線經(jīng)過C(6，2)時(shí)，b＝14.

當(dāng)0≤b≤4時(shí)，直線掃過矩形ABCD的面積S為0.

當(dāng)4＜b≤6時(shí)，直線掃過矩形ABCD的面積S為△EFA的面積(如圖1)，

圖1

在 y＝－2x＋b中，令x＝2，

得y＝－4＋b，則E(2，－4＋b)，

令y＝0，即－2x＋b＝0，解得x＝b，

則F.∴AF＝b－2，AE＝－4＋b.

∴S＝·AF·AE＝··(－4＋b)＝b²－2b＋4.

當(dāng)6＜b≤12時(shí)，直線掃過矩形ABCD的面積S為直角梯形DHGA的面積(如圖2)，

圖2

在y＝－2x＋b中，令y＝0，得x＝b，則G，

令y＝2，即－2x＋b＝2，

解得x＝b－1，

則H.

∴DH＝b－3，

AG＝b－2.AD＝2

∴S＝·(DH＋AG)·AD＝·(b－5)·2＝b－5

當(dāng)12＜b≤14時(shí)，直線掃過矩形ABCD的面積S為五邊形DMNBA的面積＝矩形ABCD的面積－△CMN的面積(如圖3)．

圖3

在y＝－2x＋b中，令y＝2，

即－2x＋b＝2，

解得x＝b－1，則M，

令x＝6，得y＝－12＋b，

則N(6，－12＋b)．

∴MC＝7－b，NC＝14－b.

∴S＝4×2－·MC·NC＝8－··(14－b)＝－b²＋7b－41.

當(dāng)b＞14時(shí)，直線掃過矩形ABCD的面積S為矩形ABCD的面積，面積為8.

綜上所述．S與b的函數(shù)關(guān)系式為：

S＝