Question

如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，-2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，-1），二次函數(shù)y=-x²的圖象為l₁．

（1）沿y軸向下平移拋物線l₁，使平移后的拋物線過(guò)點(diǎn)A，寫出平移后的拋物線的解析式；
（2）平移拋物線l₁，使平移后的拋物線過(guò)A、B兩點(diǎn)，記拋物線為l₂，如圖（2），求拋物線l₂的函數(shù)解析式及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）拋物線l₂上是否存在點(diǎn)Q，使△QAB為等腰三角形？若存在，請(qǐng)?jiān)趫D（2）中畫出來(lái)，并簡(jiǎn)要說(shuō)明畫法；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)出拋物線l₁的解析式（“上加下減”），然后將A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線l₁的解析式中，即可求出平移的距離，從而確定拋物線l₁的解析式．
（2）先根據(jù)拋物線l₁的解析式和“左加右減”的平移規(guī)律設(shè)出拋物線l₂的解析式，然后將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入求解即可得到拋物線1₂的解析式，然后將其化為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，進(jìn)而可求得C點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）此題應(yīng)分三種情況：
①AB=BQ，那么以B為圓心，BA為半徑作圓，此圓與拋物線的交點(diǎn)即為所求的Q點(diǎn)；
②AB=AQ，同①，可以A為圓心，BA為半徑作圓，此圓與拋物線的交點(diǎn)即為所求的另一個(gè)Q點(diǎn)；
③AQ=BQ，此時(shí)Q點(diǎn)為線段AB的垂直平分線與拋物線的交點(diǎn)．

解答：解：（1）設(shè)拋物線l₁的解析式為：y=-x²-h，
由題意知：-1-h=-2，h=1；
∴拋物線l₁：y=-x²-1．

（2）設(shè)l₂的解析式為y=-x²+bx+c，
聯(lián)立方程組，

-2=-1+b+c -1=-9+3b+c

，
解得b=

9

2

，c=-

11

2

，
則，l₂的解析式為y=-x2+

9

2

x-

11

2

．
點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

9

4

，-

7

16

）．

（3）若AB為等腰三角形的腰，則分別以A、B為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫圓，交拋物線分別于Q₁，Q₂；
若AB為等腰三角形的底邊，則作AB的垂直平分線，交拋物線分別于Q₃，Q₄，則Q₁、Q₂、Q₃、Q₄為所求的可能的位置．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移以及解析式的確定，并熟練掌握等腰三角形的構(gòu)成情況，需要識(shí)記的是二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律，即：“上加下減、左加右減”．