Question

【題目】如圖：AD與⊙O相切于點(diǎn)D，AF經(jīng)過圓心與圓交于點(diǎn)E、F，連接DE、DF，且EF=6，AD=4．
（1）證明：AD2=AEAF；
（2）延長AD到點(diǎn)B，使DB=AD，直徑EF上有一動(dòng)點(diǎn)C，連接CB交DF于點(diǎn)G，連接EG，設(shè)∠ACB=α，BG=x，EG=y． ①當(dāng)α=900時(shí)，探索EG與BD的大小關(guān)系？并說明理由；
②當(dāng)α=1200時(shí)，求y與x的關(guān)系式，并用x的代數(shù)式表示y．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD

∵AD是⊙O的切線，

∴OD⊥AD，即∠ADE+∠EDO=90°，

∵EF是直徑，

∴∠EDF=90°，即∠EDO+∠ODF=90°，

∴∠ADE=∠ODF，

∵OD=OF，

∴∠ODF=∠OFD，

∴∠ADE=∠OFD，

∴△ADE∽△AFD，

∴ ，

即AD2=AEAF；

（2）解：①當(dāng)α=90°時(shí)，EG＞BD

理由如下：如圖2，取EG的中點(diǎn)H，連接CH、DH、CD，

∵Rt△EDG、Rt△ECG，點(diǎn)H為EG的中點(diǎn)，

∴CH=EH=GH=DH= EG，

∴點(diǎn)C、E、D、G在以點(diǎn)H為圓心，EG為直徑的圓上，

∴EG＞CD，

∵Rt△ABC，DB=AD，

∴CD=DB=AD= AB，

∴EG＞BD；

②當(dāng)α=120°時(shí)，

如圖3，將△ADE繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°，得到△BDP，連接GP，過點(diǎn)P作PQ⊥BG，

由（1）AD2=AEAF得：16=AE（AE+6），

解得：AE=2或AE=﹣8（舍去），

∵△ADE≌△BDP

∴ED=DP，AE=BP=2，∠A=∠DBP，

∵∠EDF=90°，

∴DG垂直平分EP，

∴GE=GP=y，

∵∠A+∠ABC=180°﹣120°=60°，

∴∠DBP+∠ABC=60°，即∠GBP=60°，

在Rt△BPQ中，∠GBP=60°，BP=2，

∴BQ=1，PQ= ，

∴GQ=BG﹣BQ=x﹣1，

在Rt△GPQ中，PQ= ，GQ=x﹣1，GP=y，

∴PG2=GQ2+PQ2

即y2=（x﹣1）2+（ ）2，

故y= ．

【解析】（1）直接利用切線的性質(zhì)得出∠ADE+∠EDO=90°，再利用圓周角定理得出∠ADE=∠ODF，結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)得出答案；（2）①利用直角三角形的性質(zhì)得出點(diǎn)C、E、D、G在以點(diǎn)H為圓心，EG為直徑的圓上，進(jìn)而得出EG與BD的大小關(guān)系；②首先得出BQ=1，PQ= ，GQ=BG﹣BQ=x﹣1，進(jìn)而利用勾股定理求出答案．