如圖,已知點(diǎn)A(3,0),以A為圓心作⊙A與Y軸切于原點(diǎn),與x軸的另一個交點(diǎn)為B,過B作⊙A的切線l.
(1)以直線l為對稱軸的拋物線過點(diǎn)A及點(diǎn)C(0,9),求此拋物線的解析式;
(2)拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為D,過D作⊙A的切線DE,E為切點(diǎn),求此切線長;
(3)點(diǎn)F是切線DE上的一個動點(diǎn),當(dāng)△BFD與EAD△相似時,求出BF的長.

【答案】分析:(1)已知了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),可將拋物線的解析式設(shè)為頂點(diǎn)坐標(biāo)式,然后將C點(diǎn)坐標(biāo)代入求解即可.
(2)由于DE是⊙A的切線,連接AE,那么根據(jù)切線的性質(zhì)知AE⊥DE,在Rt△AED中,AE、AB是圓的半徑,即AE=OA=AB=3,而A、D關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,即AB=BD=3,由此可得到AD的長,進(jìn)而可利用勾股定理求得切線DE的長.
(3)若△BFD與EAD△相似,則有兩種情況需要考慮:①△AED∽△BFD,②△AED∽△FBD,根據(jù)不同的相似三角形所得不同的比例線段即可求得BF的長.
解答:解:(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-6)2+k;
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(3,0)和C(0,9),
,
解得:,


(2)連接AE;
∵DE是⊙A的切線,
∴∠AED=90°,AE=3,
∵直線l是拋物線的對稱軸,點(diǎn)A,D是拋物線與x軸的交點(diǎn),
∴AB=BD=3,
∴AD=6;
在Rt△ADE中,DE2=AD2-AE2=62-32=27,


(3)當(dāng)BF⊥ED時;
∵∠AED=∠BFD=90°,∠ADE=∠BDF,
∴△AED∽△BFD,
,

;
當(dāng)FB⊥AD時,
∵∠AED=∠FBD=90°,∠ADE=∠FDB,
∴△AED∽△FBD,

;
∴BF的長為
點(diǎn)評:此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、切線的性質(zhì)、二次函數(shù)的對稱性、勾股定理以及相似三角形的性質(zhì)等重要知識;需要注意的是,當(dāng)相似三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角不明確的情況下,一定要分類討論,以免漏解.
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16、如圖,已知點(diǎn)D是∠ABC的平分線上一點(diǎn),點(diǎn)P在BD上,PA⊥AB,PC⊥BC,垂足分別為A,C、下列結(jié)論錯誤的是( 。

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精英家教網(wǎng)如圖,已知點(diǎn)C為反比例函數(shù)y=-
6x
上的一點(diǎn),過點(diǎn)C向坐標(biāo)軸引垂線,垂足分別為A、B,那么四邊形AOBC的面積為
 

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精英家教網(wǎng)如圖,已知點(diǎn)A、B、C、D均在已知圓上,AD∥BC,AC平分∠BCD,∠ADC=120°,四邊形ABCD的周長為10cm.圖中陰影部分的面積為(  )
A、
3
2
B、
3
-
3
C、2
3
D、4
3

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如圖,已知點(diǎn)D為△ABC中AC邊上一點(diǎn),且AD:DC=3;4,設(shè)
BA
=
a
,
BC
b

(1)在圖中畫出向量
BD
分別在
a
,
b
方向上的分向量;
(2)試用
a
,
b
的線性組合表示向量
BD

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如圖,已知點(diǎn)C為AB上一點(diǎn),AC=12cm,CB=
23
AC,D、E分別為AC、AB的中點(diǎn).
(1)圖中共有
10
10
線段.
(2)求DE的長.

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