Question

把一張長為20cm，寬為16cm的矩形硬紙板的四周各剪去一個同樣大小的正方形（如圖1），再折疊成一個無蓋的長方體盒子（紙板的厚度忽略不計，如圖2）．設剪去的正方形邊長為x（cm），x為正整數．折成的長方體盒子底面積為y（cm²）．
（1）求y與x之間的函數關系式；
（2）折疊成的長方體盒子底面積是否有最大值？若有，請求出最大值，若沒有，說明理由；
（3）你認為折疊成的無蓋長方體盒子的側面積有可能是192cm²嗎？若能，請求出此時x的值，若不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設剪去的正方形邊長為xcm，由題意，得
y=（20-2x）（16-2x）=4x²-72x+320；

（2）設剪去的正方形邊長為xcm，
由題意得：y=4x²-72x+320=4（x-9）²-4，
∵20-2x＞0，
∴x＜10，
又∵x為正整數，
∴當x=1時，y取得最大，最大值為252．
（3）折合而成的無蓋長方體盒子的側面積不可能等于192cm²，理由如下：
設剪去的正方形邊長為xcm，
由題意，得　2[x（10-2x）+x（16-2x）]=192，
整理得2x²-9x+48=0
∵△=b²-4ac=81-4×2×48＜0，
∴原方程沒有實數解．
即折合而成的無蓋長方體盒子的側面積不可能等于52cm²．
分析：（1）設剪去的正方形邊長為xcm，由題意，得y=（20-2x）（16-2x）即可得出答案；
（2）可設剪去的正方形邊長為xcm，根據二次函數最值求法求解即可；
（3）可設剪去的正方形邊長為xcm，根據無蓋長方體盒子的側面積等于192 cm²，可得方程2[x（20-2x）+x（16-2x）]=192，再根據根的判別式作出判斷．
點評：本題主要考查了矩形的面積的求法，二次函數的應用等知識點，根據面積的計算方法正確的表示出二次函數是解題的關鍵．