Question

兩個大小相同且含角的三角板ABC和DEC如圖①擺放，使直角頂點(diǎn)重合. 將圖①中△DEC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)得到圖②，點(diǎn)F、G分別是CD、DE與AB的交點(diǎn)，點(diǎn)H是DE與AC的交點(diǎn).

（1）不添加輔助線，寫出圖②中所有與△BCF全等的三角形；

（2）將圖②中的△DEC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)得△D₁E₁C，點(diǎn)F、G、H的對應(yīng)點(diǎn)分別為F₁、G₁、H₁，如圖③.探究線段D₁F₁與AH₁之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出推理過程；

（3）在（2）的條件下，若D₁E₁與CE交于點(diǎn)I，求證：G₁I =CI.

 

Answer 1

【答案】

（1）圖②中與△BCF全等的有△GDF、 △GAH 、△ECH．

（2）= 

證明：∵∴△AF₁C ≌△D₁H₁C.

∴ F₁C= H₁C， 又CD₁=CA，

∴CD₁- F₁C ="CA-" H₁C.即

（3）連結(jié)CG₁.

在△D₁G₁F₁和△AG₁H₁中，

∵，∴△D₁G₁F₁≌△AG₁H₁.

∴G₁F₁=G₁H₁

又∵H₁C=F₁C，G₁C=G₁C，∴△CG₁F₁≌△CG₁H₁.

∴∠1=∠2.  

∵∠B=60°，∠BCF="30°" ，∴∠BFC=90°.                        

又∵∠DCE=90°，∴∠BFC=∠DCE，                                   

∴BA∥CE， ∴∠1=∠3，   ∴∠2=∠3，

∴G₁I="CI"

【解析】（1）觀察圖形，根據(jù)全等三角形的判定定理，即可得與△BCF全等的有△GDF、△GAH、△ECH；

（2）利用SAS即可判定△AF₁C≌△D₁H₁C，則可得對應(yīng)線段相等，即可求得D₁F₁=AH₁；

（3）首先連接CG₁，利用AAS即可證得△D₁G₁F₁≌△AG₁H₁．然后可證得△CG₁F₁≌△CG₁H₁．又由平行線的性

質(zhì)即可求得答案．