Question

【題目】如圖,在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn),E是AD的中點(diǎn),過A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且AF=BD,連接BF．

(1)求證：BD=CD；

(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí),四邊形AFBD是矩形?并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）當(dāng)△ABC滿足:AB=AC時(shí),四邊形AFBD是矩形.

【解析】分析：（1）由AF與BC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到一對(duì)角相等，再一對(duì)對(duì)頂角相等，且由E為AD的中點(diǎn)，得到AE=DE，利用AAS得到△AFE與△DCE全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；

（2）當(dāng)△ABC滿足：AB=AC時(shí)，四邊形AFBD是矩形，理由為：由AF與BD平行且相等，得到四邊形AFBD為平行四邊形，再由AB=AC，BD=CD，利用三線合一得到AD垂直于BC，即∠ADB為直角，即可得證．

詳解：(1)∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DCE.

∵E是AD的中點(diǎn)，

∴AE=DE .

在△AEF和△DEC中，

∴△AEF≌△DEC(AAS)，

∴AF=CD.

∵AF=BD，

∴BD=CD.

(2)當(dāng)△ABC滿足:AB=AC時(shí),四邊形AFBD是矩形.

理由如下:

∵AF∥BD,AF=BD,

∴四邊形AFBD是平行四邊形,

∵AB=AC,BD=CD,

∴∠ADB=90°,

∴平行四邊形AFBD是矩形.