(2013•高港區(qū)二模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中0A=2,0B=4,將△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°至△OCD,若已知拋物線y=ax2+bx+c過點A、D、B.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)連結(jié)DB,將△COD沿射線DB平移,速度為每秒
2
個單位.
①經(jīng)過多少秒O點平移后的O′點落在線段AB上?
②設(shè)DO的中點為M,在平移的過程中,點M、A、B能否構(gòu)成等腰三角形?若能,求出構(gòu)成等腰三角形時M點的坐標(biāo);若不能,請說明理由.
分析:1)先根據(jù)題意求的點A、B、D的坐標(biāo),再根據(jù)待定系數(shù)法即可求得此拋物線的解析式;
(2)①設(shè)經(jīng)過t秒O點平移后的O′點落在線段AB上,即可得到點O′的坐標(biāo)為(t,-t),再求得直線AB解析式,從而求得結(jié)果;
②先根據(jù)線段中點的性質(zhì)得到點M的坐標(biāo),再分MA=MB、AB=AM、BA=BM三種情況求解即可.
解答:解:(1)由題意得A(2,0),B(0,-4),D(-4,0)
4a+2b+c=0
c=-4
16a-4b+c=0
,解得
a=
1
2
b=1
c=-4
,
∴此拋物線的解析式為y=
1
2
x2+x-4;
(2)①∵B(0,-4),D(-4,0),
∴直線BD的解析式為y=-x-4,
∵OC=2,
∴點O在直線y=-x上運動,
∴設(shè)經(jīng)過t秒O點平移后的O′點落在線段AB上,
則點O′的坐標(biāo)為(t,-t)
易得AB解析式為y=2x-4,則-t=2t-4,解得t=
4
3
,
答:經(jīng)過
4
3
秒O點平移后的O′點落在線段AB上;
(3)由題意得DO的中點M的坐標(biāo)為(t-2,-t)
當(dāng)MA=MB時,可得M(-1,-1)
當(dāng)AB=AM時,可得M(
6
,-2-
6

當(dāng)BA=BM時,可得M(4,-6).
點評:此類問題綜合性強,難度較大,在中考中比較常見,一般作為壓軸題,題目比較典型.
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