Question

已知，如圖，直線l₁：y=-

3

2

x+3與y軸交于點(diǎn)A，與直線l₂交于x軸上同一點(diǎn)B，直線l₂交y軸于點(diǎn)C，且點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱．
（1）求直線l₂的解析式；
（2）若點(diǎn)P是直線l₁上任意一點(diǎn)，求證：點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P′一定在直線l₂上；
（3）設(shè)D（0，-1），平行于y軸的直線x=t分別交直線l₁和l₂于點(diǎn)E、F．是否存在t的值，使得以A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）∵直線l₁：y=-

3

2

x+3與x、y軸交于點(diǎn)B、A兩點(diǎn)，
∴令x=0，則y=3
令y=0，則x=2
∴A（0，3），B（2，0），
∵點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，∴C（0，-3）；
設(shè)直線l₂的解析式為y=kx+b，
∴

2k+b=0 b=-3

，
解得k=

3

2

，b=-3，
∴直線l₂的解析式為y=

3

2

x-3；

（2）證明：設(shè)P（x，y），點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P′（x，-y），
把點(diǎn)P′（x，-y）代入直線l₂的解析式，左邊=-y，右邊=

3

2

x-3；
又∵y=-

3

2

x+3，
∴-y=

3

2

x-3，
∴左邊=右邊，
∴點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P′一定在直線l₂上．

（3）假設(shè)存在t的值，使四邊形ADEF為平行四邊形，
則E（t，

3

2

t-3）、F（t，-

3

2

t+3），
∴（

3

2

t-3）-（-

3

2

t+3）=3-（-1），
解得t=

10

3

，
∵B（2，0），
∴BN=

10

3

-2=

4

3

=BK，
OK=2-

4

3

=

2

3

，
即此時(shí)EF=-

3

2

×

2

3

+3-（

3

2

×

2

3

+3）=4=AD，
∴存在t的值，使得以A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則t的值為

10

3

或

2

3

．