(2011•成都)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,△ABC的A、B兩個頂點(diǎn)在x軸上,頂點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上.已知|OA|:|OB|=1:5,|OB|=|OC|,△ABC的面積S△ABC=15,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn).
(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上異于點(diǎn)B的一個動點(diǎn),過點(diǎn)E作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FG垂直于x軸于點(diǎn)G,再過點(diǎn)E作EH垂直于x軸于點(diǎn)H,得到矩形EFGH.則在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中,當(dāng)矩形EFGH為正方形時,求出該正方形的邊長;
(3)在拋物線上是否存在異于B、C的點(diǎn)M,使△MBC中BC邊上的高為?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

解:(1)∵|OA|:|OB|=1:5,|OB|=|OC|,
設(shè)OA=m,則OB=OC=5m,AB=6m,
△ABC=AB×OC=15,得×6m×5m=15,解得m=1(舍去負(fù)值),
∴A(﹣1,0),B(5,0),C(0,﹣5),
設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)(x﹣5),將C點(diǎn)坐標(biāo)代入,得a=1,
∴拋物線解析式為y=(x+1)(x﹣5),
即y=x2﹣4x﹣5;
(2)設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(m,m2﹣4m﹣5),拋物線對稱軸為x=2,
由2(m﹣2)=EH,得2(m﹣2)=﹣(m2﹣4m﹣5)或2(m﹣2)=m2﹣4m﹣5,
解得m=1±或m=3±,
∵m>2,∴m=1+或m=3+,
邊長EF=2(m﹣2)=2﹣2或2+2;

(3)存在.
由(1)可知OB=OC=5,
∴△OBC為等腰直角三角形,直線BC解析式為y=x﹣5,
依題意,直線y=x+9或直線y=x﹣19與BC的距離為7,
聯(lián)立,,
解得,
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣2,7),(7,16).

解析

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如圖,已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(,8),直線y=﹣x+b經(jīng)過該反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)Q(4,m).
(1)求上述反比例函數(shù)和直線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)設(shè)該直線與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn),與反比例函數(shù)圖象的另一個交點(diǎn)為P,連接0P、OQ,求△OPQ的面積.

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(2011•成都)如圖,在亞丁灣一海域執(zhí)行護(hù)航任務(wù)的我海軍某軍艦由東向西行駛.在航行到B處時,發(fā)現(xiàn)燈塔A在我軍艦的正北方向500米處;當(dāng)該軍艦從B處向正西方向行駛至達(dá)C處時,發(fā)現(xiàn)燈塔A在我軍艦的北偏東60°的方向.求該軍艦行駛的路程.(計算過程和結(jié)果均不取近似值)

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