Question

22、如圖，△ABC是等邊三角形，點D、E、F分別是線段AB、BC、CA上的點，
（1）若AD=BE=CF，問△DEF是等邊三角形嗎？試證明你的結論；
（2）若△DEF是等邊三角形，問AD=BE=CF成立嗎？試證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由SAS易證△ADF≌△BED≌△CFE，所以DF=DE=EF，即△DEF是等邊三角形；
（2）先證明∠1+∠2=120°，∠2+∠3=120°．可得∠1=∠3．同理∠3=∠4．則△ADF≌△BED≌△CFE，故能證明AD=BE=CF．

解答：證明：（1）△DEF是等邊三角形．
證明如下：
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠C，AB=BC=CA，
又∵AD=BE=CF，
∴DB=EC=FA，（2分）
∴△ADF≌△BED≌△CFE，（3分）
∴DF=DE=EF，即△DEF是等邊三角形；（4分）

（2）AD=BE=CF成立．
證明如下：
如圖，∵△DEF是等邊三角形，
∴DE=EF=FD，∠FDE=∠DEF=∠EFD=60°，
∴∠1+∠2=120°，
又∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴∠2+∠3=120°，
∴∠1=∠3，（6分）
同理∠3=∠4，
∴△ADF≌△BED≌△CFE，（7分）
∴AD=BE=CF．（8分）

點評：本題利用了等邊三角形的三邊都相等，三個內角相等都是60°，以及全等三角形的判定和性質．