Question

在邊長為6的菱形ABCD中，動點M從點A出發(fā)，沿A→B→C向終點C運動，連接DM交AC于點N.

（1）如圖25－1，當(dāng)點M在AB邊上時，連接BN.

①求證：△ABN≌△ADN；

②若∠ABC = 60°，AM = 4，∠ABN =α，求點M到AD的距離及tanα的值；

（2）如圖25－2，若∠ABC = 90°，記點M運動所經(jīng)過的路程為x（6≤x≤12）.

試問：x為何值時，△ADN為等腰三角形.

Answer 1

（1）①證明：∵四邊形ABCD是菱形

             ∴AB­ = AD，∠1 =∠2 ………………………2分

             又∵AN = AN

             ∴△ABN ≌ △ADN  ………………………4分

     ②解：作MH⊥DA交DA的延長線于點H，由AD∥BC，得∠MAH =∠ABC = 60°，

           在Rt△AMH中，MH = AM·sin60° = 4×sin60° = 2，

           ∴點M到AD的距離為2. ………………………………………6分

易求AH=2，則DH=6＋2=8.  ………………………………………7分

在Rt△DMH中，tan∠MDH=，

由①知，∠MDH=∠ABN=α.

故tanα=  …………………… 9分

（2）解：∵∠ABC=90°，∴菱形ABCD是正方形

     此時，∠CAD=45°.

     下面分三種情形：

     Ⅰ）若ND=NA，則∠ADN=∠NAD=45°.

         此時，點M恰好與點B重合，得x=6；……………10分

     Ⅱ）若DN=DA，則∠DNA=∠DAN=45°.

         此時，點M恰好與點C重合，得x=12；………… 11分

     Ⅲ）若AN=AD=6，則∠1=∠2，

由AD∥BC，得∠1=∠4，又∠2=∠3，

∴∠3=∠4，從而CM=CN，

易求AC=6，∴CM=CN=AC－AN=6－6，

故x = 12－CM=12－（6－6）=18－6 …………………………13分

綜上所述：當(dāng)x = 6或12 或18－6時，△ADN是等腰三角形 ………………… 14分

（說明：對于Ⅰ）、Ⅱ）分類只要考生能寫出x=6，x=12就給2分）