Question

設a、b、c均不為0，且a+b+c=1998，

1

a

+

1

b

+

1

c

=

1

1998

，求證：a、b、c中至少有一個等于1998．

Answer 1

分析：要想證明a、b、c中至少有一個等于1998，根據(jù)a+b+c=1998，只需證明a+b=0或a+c=0或b+c=0即可，首先將

1

a

+

1

b

+

1

c

=

1

1998

中的1998用a+b+c表示，即

1

a

+

1

b

+

1

c

=

1

a+b+c

，去分母、分解因式，轉化為（a+b）（b+c）（c+a）=0的形式．

解答：證明：
∵a+b+c=1998，

1

a

+

1

b

+

1

c

=

1

1998

∴

1

a

+

1

b

+

1

c

=

1

a+b+c

?

ab+bc+ac

abc

=

1

a+b+c

?（ab+bc+ac）（a+b+c）=abc?（a+b）（ab+bc+ac）+（ab+bc+ac）c=abc?（a+b）（ab+bc+ac）+abc+c（bc+ac）=abc?（a+b）（ab+bc+ac）+c²（a+b）=0?（a+b）（ab+bc+ac+c²）=0?（a+b）[b（a+c）+c（a+c）]=0?（a+b）（a+b）（a+c）=0
∴a+b，b+c，c+a中必有一個為0
∴a、b、c中至少有一個等于1998

點評：本題考查分式的混合運算．解決本題的關鍵是將證明a、b、c中至少有一個等于1998，轉化為證明a+b=0或a+c=0或b+c=0．