Question

【題目】已知，拋物線y=ax+bx+4與x軸交于點(diǎn)A（-3，0）和B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，若點(diǎn)D為CB的中點(diǎn)，將線段DB繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在拋物線的對稱軸上時，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）如圖2，若點(diǎn)D為直線BC或直線AC上的一點(diǎn)，E為x軸上一動點(diǎn)，拋物線
對稱軸上是否存在點(diǎn)F，使以B，D，F(xiàn)，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

由A（-3，0）和B（2，0），得：

即 = ax+bx+4

∴

∴

∴ .

（2）

易得C（0,4），則BC= .

由 可對稱軸為x= ,

則可設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為 ，

∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ，

由旋轉(zhuǎn)可得，DG=DB

∴ ……………

∴ ………

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為 或

（3）

①當(dāng)BE為對角線時，因?yàn)榱庑蔚膶�角線互相垂直平分，所以此時D即為對稱軸與AC的交點(diǎn)或?qū)ΨQ軸對BC的交點(diǎn)，F為點(diǎn)D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，

設(shè) ，

∵C ，A ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴當(dāng) 時， ，

∴D ，

∴F ；

易得

∴當(dāng) 時，y=5，

∴D ，

∴F ；

②當(dāng)BE為菱形的邊時，有DF∥BE

I)當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上時

設(shè)D ，則點(diǎn)F

∵四邊形BDFE是菱形

∴FD=DB

根據(jù)勾股定理得，

整理得： =0，

解得： ，

∴F 或

II）當(dāng)點(diǎn)D在直線AC上時

設(shè)D ，則點(diǎn)F

∵四邊形BFDE是菱形，

∴FD=FB，

根據(jù)勾股定理得，

整理得： ，

解得： (舍去)，

∴F ，

綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)分別為： ， ， ，

， .

【解析】（1）可將三個點(diǎn)的分別代入拋物線可解出；或都運(yùn)用兩點(diǎn)式簡便求解；（2）由旋轉(zhuǎn)可得DG=DB，因?yàn)镈是BC中點(diǎn)，所以DB= BC，求DB的長，和D的坐標(biāo)，因?yàn)镚在對稱軸上的點(diǎn)，則橫坐標(biāo)為 ，由勾股定理構(gòu)造方程，解出G的縱坐標(biāo)；（3）分類討論：BE在x軸上，所以當(dāng)BE為對角線上時，則FD也為對角線，它們互相平分且垂直，而點(diǎn)F在對稱軸上，D也在對稱軸上，所以點(diǎn)D與F關(guān)于x軸對稱，則點(diǎn)D為AC與對稱軸的交點(diǎn)，BC與對稱軸的交點(diǎn)，求出點(diǎn)D即可；當(dāng)BE為邊時，根據(jù)對邊平行可得必有DF//BE，則D，F(xiàn)的縱坐標(biāo)相等，則當(dāng)點(diǎn)D在BC上時，可設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而可得點(diǎn)F的坐標(biāo)由FD=DB，構(gòu)造方程解得D的坐標(biāo)，F(xiàn)的坐標(biāo);當(dāng)點(diǎn)D在AC上時，同理.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)，以及對二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�