考點(diǎn)：二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)
專(zhuān)題：
分析：由n是正整數(shù)，
為有理數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)（n+7）•
=
為有理數(shù)．而（9n-1）（n+7）是整數(shù)，其平方根若為有理數(shù)則必為整數(shù)．
即有1024=（9n+31）
2-9m
2=（9n+31+3m）（9n+31-3m）．9n+31+3m是1024的約數(shù)．n是正整數(shù)，m是非負(fù)整數(shù)，故9n+31+3m是大于31的整數(shù)．此外，易見(jiàn)9n+3m+31除以3余1．滿(mǎn)足條件的1024的約數(shù)有64，256，1024．再求即可．
解答：解：由n是正整數(shù)，
為有理數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)（n+7）•
=
為有理數(shù)．
而（9n-1）（n+7）是整數(shù)，其平方根若為有理數(shù)則必為整數(shù)．
設(shè)非負(fù)整數(shù)m滿(mǎn)足m
2=（9n-1）（n+7）=9n
2+62n-7．
則9m
2=（9n）
2+62（9n）-63=（9n+31）
2-31
2-63=（9n+31）
2-1024．
即有1024=（9n+31）
2-9m
2=（9n+31+3m）（9n+31-3m）．
9n+31+3m是1024的約數(shù)．
n是正整數(shù)，m是非負(fù)整數(shù)，故9n+31+3m是大于31的整數(shù)．
此外，易見(jiàn)9n+3m+31除以3余1．
滿(mǎn)足條件的1024的約數(shù)有64，256，1024．
若9n+31+3m=64，有9n+31-3m=
=16，解得n=1．
若9n+31+3m=256，有9n+31-3m=
=4，解得n=11．
若9n+31+3m=1024，有9n+31-3m=
=1，解不為整數(shù)．
可驗(yàn)證n=1時(shí)
=1，n=11時(shí)
=
為有理數(shù)．
故滿(mǎn)足條件的正整數(shù)為1，11．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)．關(guān)鍵是得出9n+31+3m是1024的約數(shù)．n是正整數(shù)，m是非負(fù)整數(shù)，故9n+31+3m是大于31的整數(shù)．
世紀(jì)百通期末金卷系列答案
尺規(guī)作圖（要求：保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）
在△ABC中，tanA=