Question

數(shù)字3可以有四種方式表達(dá)為1個(gè)或幾個(gè)正整數(shù)的有序和3，1+2，2+1，l+l+1，那么對(duì)于一般的正整數(shù)n，如此表達(dá)方式的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．

Answer 1

2^n-1
分析：一個(gè)有序的和a₁+a₂+…+a_K=n，ai≥1可以用排成一行的個(gè)1被個(gè)斜杠“/”分割開(kāi)的形式來(lái)表達(dá)，即111…1/11…1/11…1/…/11…1其中第1部分含a個(gè)1，第2部分含a₂個(gè)1，第3部分含a₃個(gè)1，…，最后的第k部分含a_k個(gè)1．為了得到所有這樣的表達(dá)形式（對(duì)所有的1≤k≤n），可以將n個(gè)l排成一行，在每相鄰兩個(gè)1之間產(chǎn)生的n-1個(gè)空位中，要么放上一個(gè)斜杠，要么不放，這樣就可產(chǎn)生2^n-1種不同的表達(dá)形式．
解答：∵正整數(shù)n用排成一行的個(gè)1被個(gè)斜杠“/”分割開(kāi)的形式來(lái)表達(dá)，111…1/11…1/11…1/…/11…1，
其中第1部分含a個(gè)1，第2部分含a₂個(gè)1，第3部分含a₃個(gè)1，…，最后的第k部分含a_k個(gè)1．
對(duì)所有的1≤k≤n，可以將n個(gè)l排成一行，在每相鄰兩個(gè)1之間產(chǎn)生的n-1個(gè)空位中，要么放上一個(gè)斜杠，要么不放，
∴可產(chǎn)生2^n-1種不同的表達(dá)形式．
故答案為：2^n-1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正整數(shù)的有序和的規(guī)律，解題的關(guān)鍵是得出所有的1≤k≤n，可以將n個(gè)l排成一行，在每相鄰兩個(gè)1之間產(chǎn)生的n-1個(gè)空位中，要么放上一個(gè)斜杠，要么不放．