已知二次函數(shù)
(1)求它的對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)將該拋物線沿它的對(duì)稱軸向上平移,如圖所示,設(shè)平移后的拋物線的頂點(diǎn)為M,與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B、C三點(diǎn),連接AC、BC,若∠ACB=90°.
①求此時(shí)拋物線的解析式;
②以AB為直徑作圓,試判斷直線CM與此圓的位置關(guān)系,并說明理由.

【答案】分析:(1)根據(jù)對(duì)稱軸公式求出x=-,求出即可;:(1)由
,
∴D(3,0);

(2)①假設(shè)出平移后的解析式即可得出圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),再利用勾股定理求出即可;②由拋物線的解析式可得,A,B,C,M各點(diǎn)的坐標(biāo),再利用勾股定理逆定理求出CD⊥CM,即可證明.
解答:解:(1)由,
,
∴D(3,0);

(2)方法一:
①如圖1,設(shè)平移后的拋物線的解析式為
則C(0,k)OC=k,
令y=0即,
,
∴A,B
,
=2k2+8k+36,
∵AC2+BC2=AB2
即:2k2+8k+36=16k+36,
得k1=4,k2=0(舍去),
∴拋物線的解析式為,…
方法二:
①∵,∴頂點(diǎn)坐標(biāo)
設(shè)拋物線向上平移h個(gè)單位,則得到C(0,h),頂點(diǎn)坐標(biāo)
∴平移后的拋物線:,
當(dāng)y=0時(shí),,得x1=3-,x2=3+,
∴A,B,
∵∠ACB=90°∴△AOC∽△COB,
∴OC2=OA•OB(6分)得h1=4,h2=0(不合題意舍去),
∴平移后的拋物線:;

(3)方法一:
②如圖2,由拋物線的解析式可得,
A(-2,0),B(8,0),C(0,4),M,
過C、M作直線,連接CD,過M作MH垂直y軸于H,則MH=3,
,
∴DM2=CM2+CD2
∴△CDM是直角三角形,∴CD⊥CM,
∴直線CM與⊙D相切.

方法二:
②如圖3,由拋物線的解析式可得A(-2,0),B(8,0),C(0,4),M,
作直線CM,過D作DE⊥CM于E,過M作MH垂直y軸于H,則MH=3,,由勾股定理得
∵DM∥OC,
∴∠MCH=∠EMD,
∴Rt△CMH∽R(shí)t△DME,
得DE=5,
由(2)知AB=10,∴⊙D的半徑為5.
∴直線CM與⊙D相切.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及勾股定理以及逆定理的應(yīng)用,利用數(shù)形結(jié)合得出是解決問題的關(guān)鍵.
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A、y1≥y2B、y1>y2C、y1<y2D、y1≤y2

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(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;
(2)求圖象與x軸交點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)圖象與y軸交點(diǎn)為點(diǎn)C,求三角形ABC的面積.

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(2013•莒南縣二模)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,有下列5個(gè)結(jié)論:
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②④⑤
②④⑤
.(請(qǐng)寫出所有正確說法的序號(hào))

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(5,0)
(5,0)

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