Question

已知拋物線(xiàn)y=-x²-x+m與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為C．求是否存在實(shí)數(shù)m，使△ABC為等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：令y=0，得到關(guān)于x的一元二次方程，求出兩根之和與兩根之積表達(dá)式，然后求出AB的距離，求出函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，令頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值等于AB的一半即可得到關(guān)于m的方程．若能求出m的值，則m的值存在，否則不存在．
解答：解：設(shè)A、B的坐標(biāo)為（x₁，0），（x₂，0），
由-x²-x+m=0，有x₁+x₂=-，x₁•x₂=-m，
∴|AB|=|x₁-x₂|===，
又∵-=-=-，=，
∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-，），
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴||=|AB|=，
∴m=1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及函數(shù)與方程的關(guān)系、等腰直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值等，要綜合分析，認(rèn)真解答．