Question

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-8，0），直線BC經(jīng)過點(diǎn)B（-8，6），C（0，6），將四邊形OABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度（0＜α≤180°）得到四邊形OA′B′C′，此時(shí)直線OA′、直線B′C′分別與直線BC相交于P、Q．
（1）四邊形OABC的形狀是______，當(dāng)α=90°時(shí)，的值是______；
（2）①如圖1，當(dāng)四邊形OA′B′C′的頂點(diǎn)B′落在y軸正半軸上時(shí)，求PQ的長(zhǎng)；
②如圖2，當(dāng)四邊形OA′B′C′的頂點(diǎn)B′落在直線BC上時(shí)，求PQ的長(zhǎng)．
（3）小明在旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，總存在線段PQ與線段______相等；同時(shí)存在著特殊情況BP=BQ，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是______．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形即可得出四邊形OA′B′C′是矩形，當(dāng)α=90°時(shí)，可知=，根據(jù)比例的性質(zhì)得出=；
（2）①由△COP∽△A'OB'，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出CP=，同理由△B'CQ∽△B'C'O，得出CQ=3，則PQ可求；
②先利用AAS證明△OCP≌△B'A'P，得出OP=B'P，即OP=PQ，然后在Rt△OCP中，運(yùn)用勾股定理即可求出PQ的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，過點(diǎn)Q畫QH⊥OA′于H，連接OQ，則QH=OC′=OC，根據(jù)S_△POQ=S_△POQ，即可證明出PQ=OP；
設(shè)BP=x，在Rt△PCO中，運(yùn)用勾股定理，得出x=，進(jìn)而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-8，0），直線BC經(jīng)過點(diǎn)B（-8，6），C（0，6），
∴OA=BC=8，OC=AB=6，∠AOA′=90°，
∴四邊形OABC的形狀是矩形；
當(dāng)α=90°時(shí)，P與C重合，如右圖，
根據(jù)題意，得==，
則=；

（2）①如圖1，∵∠POC=∠B'OA'，∠PCO=∠OA'B'=90°，
∴△COP∽△A'OB'，
∴，即，
∴CP=． 
同理△B'CQ∽△B'C'O，
，即，
∴CQ=3，
PQ=CP+CQ=；

②如圖2，∵在△OCP和△B'A'P中，
，
∴△OCP≌△B'A'P（AAS），
∴OP=B'P，即OP=PQ，
設(shè)PQ=x．
在Rt△OCP中，（8-x）²+6²=x²，
解得x=．
故所求PQ的長(zhǎng)為；
                                     
（3）當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，總存在線段PQ與線段OP相等；同時(shí)存在著特殊情況BP=BQ，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是P（-，6）．理由如下：
如備用圖，過點(diǎn)Q畫QH⊥OA′于H，連接OQ，則QH=OC′=OC，
∵S_△POQ=PQ•OC，S_△POQ=OP•QH，
∴PQ=OP．
設(shè)BP=x，
∵BP=BQ，
∴BQ=2x，
∵點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)，
∴OP=PQ=BQ-BP=x，PC=8-x．
在Rt△PCO中，（8-x）²+6²=x²，
解得x=．
∴PC=BC-BP=8-=，
∴P（-，6）．
故答案為：矩形，；OP，P（-，6）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理．特別注意在旋轉(zhuǎn)的過程中的對(duì)應(yīng)線段相等，能夠用一個(gè)未知數(shù)表示同一個(gè)直角三角形的未知邊，根據(jù)勾股定理列方程求解．