Question

如圖甲，分別以兩個彼此相鄰的正方形OABC與CDEF的邊OC、OA所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系（O、C、F三點在x軸正半軸上）.若⊙P過A、B、E三點(圓心在x軸上)，拋物線經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為G，M是FG的中點，正方形CDEF的面積為1.
（1）求B點坐標；
（2）求證：ME是⊙P的切線；
（3）設(shè)直線AC與拋物線對稱軸交于N，Q點是此對稱軸上不與N點重合的一動點，①求△ACQ周長的最小值；②若FQ＝t，S_△ACQ＝S，直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.

　　 

Answer 1

解：（1）如圖甲，連接PE、PB，設(shè)PC＝n
∵正方形CDEF面積為1∴CD＝CF＝1
根據(jù)圓和正方形的對稱性知OP＝PC＝n
∴BC＝2PC＝2n
而PB＝PE，

∴
解得n=1   (舍去)
∴BC＝OC＝2  ∴B點坐標為（2，2）

（2）如圖甲，由（1）知A（0，2），C（2，0）
∵A，C在拋物線上∴     ∴

∴拋物線的解析式為

即
∴拋物線的對稱軸為x=3,即EF所在直線
∵C與G關(guān)于直線x=3對稱， ∴CF＝FG＝1  ∴FM＝FG＝
在Rt△PEF與Rt△EMF中
＝，  ∴=∴△PEF∽△EMF
∴∠EPF＝∠FEM∴∠PEM＝∠PEF+∠FEM＝∠PEF+∠EPF＝90°
∴ME與⊙P相切
（注：其他方法，參照給分）

（3）①如圖乙，延長AB交拋物線于，連交對稱軸x=3于Q，連AQ則有AQ＝Q，△ACQ周長的最小值為（AC+C）的長
∵A與關(guān)于直線x=3對稱∴A（0，2），（6，2）
∴C＝（6-2），

而AC=

∴△ACQ周長的最小值為

③    當Q點在F點上方時，S＝t+1

④    當Q點在線段FN上時，S＝1-t

⑤    當Q點在N點下方時，S＝t-1