Question

如圖，邊長為4的等邊△AOB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)B在第一象限．一動點(diǎn)P沿x軸以每秒1個(gè)單位長度的速度由點(diǎn)O向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間是t秒．在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，線段BP的中點(diǎn)為點(diǎn)E，將線段PE繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得PC． 
（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到線段OA的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為______

Answer 1

【答案】分析：（1）過點(diǎn)作CD⊥x軸于點(diǎn)D，先由等邊三角形的性質(zhì)求出P點(diǎn)坐標(biāo)及BP的長，故可得出PE的長，由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出PC=PE及∠CPD的度數(shù)，再由銳角三角函數(shù)的定義即可求出PD及CD的長，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（2）過P作PD⊥OB于點(diǎn)D，過C作CF⊥PA于點(diǎn)F，在Rt△OPD中  PD=OP•sin60°=，由相似三角形的判定定理得出△BPD∽△PCF，故可得出CF及PF的長，進(jìn)而可得出C點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）取OA的中點(diǎn)M，連接MC，由（2）得，，由銳角三角函數(shù)的定義得出∠CMF=30°，可知點(diǎn)C在直線MC上運(yùn)動．故當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)M重合．
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，），由兩點(diǎn)間的距離公式即可得出結(jié)論．
解答：解：（1）如圖1，過點(diǎn)作CD⊥x軸于點(diǎn)D，
∵△AOB是等邊三角形，P是OA的中點(diǎn)，
∴P（2，0），BP=OB•sin60°=4×=2，
∵E是BP的中點(diǎn)，
∴PE=，
∴PE=PC=，
∵∠BPC=60°，
∴∠CPA=30°，
∴PD=PC•cos30°=×=，CD=PC•sin30°=×=，
∴OD=OP+PD=2+=，
∴C（，）；

（2）如圖2，過P作PD⊥OB于點(diǎn)D，過C作CF⊥PA于點(diǎn)F
在Rt△OPD中  PD=OP•sin60°=，
∵∠OBP+∠OPB=∠CPF+∠OPB=120°
∴∠DBP=∠FPC，
∵∠PDB=∠CFP=90°
∴△BPD∽△PCF，
∴CF=，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）；        

（3）取OA的中點(diǎn)M，連接MC，由（2）得，．
∴
∴∠CMF=30°．
∴點(diǎn)C在直線MC上運(yùn)動．
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)M重合．
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為
∴點(diǎn)C所經(jīng)過的路徑長為．
點(diǎn)評：本題考查的是相似形綜合題及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．