Question

已知長方形ABCO，O為坐標原點，點B的坐標為（8，6），A、C分別在坐標軸上，P是線段BC上動點，設PC=m，已知點D在第一象限且是直線y=2x+6上的一點，若△APD是等腰直角三角形．
（1）求點D的坐標；
（2）直線y=2x+6向右平移6個單位后，在該直線上，是否存在點D，使△APD是等腰直角三角形？若存在，請求出這些點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）如圖1所示，作DE⊥y軸于E點，作PF⊥y軸于F點，可得∠DEA=∠AFP=90°，再由三角形ADP為等腰直角三角形，得到AD=AP，利用同角的余角相等得到一對角相等，利用AAS得到三角形ADE與三角形APF全等，由全等三角形的對應邊相等得到AE=PF，由AE+OA求出OE的長，即為D的縱坐標，代入直線解析式求出D的橫坐標，即可確定出D的坐標；
（2）存在點D，使△APD是等腰直角三角形，理由為：利用平移規(guī)律求出y=2x+6向右平移后的解析式，分三種情況考慮：如圖2所示，當∠ADP=90°時，AD=PD，根據(jù)D為矩形ABCO的中心，易得D點坐標；如圖3所示，當∠APD=90°時，AP=PD，設點P的坐標為（8，m），表示出D點坐標為（14-m，m+8），列出關(guān)于m的方程，求出m的值，即可確定出D點坐標；如圖4所示，當∠ADP=90°時，AD=PD時，同理求出D的坐標，綜上，得到所有滿足題意D得坐標．

解答：解：（1）如圖1所示，作DE⊥y軸于E點，作PF⊥y軸于F點，可得∠DEA=∠AFP=90°，

∵△DAP為等腰直角三角形，
∴AD=AP，∠DAP=90°，
∴∠EAD+∠DAB=90°，∠DAB+∠BAP=90°，
∴∠EAD=∠BAP，
∵AB∥PF，
∴∠BAP=∠FPA，
∴∠EAD=∠FPA，
∵在△ADE和△PAF中，

∠DEA=∠AFP=90° ∠EAD=∠FPA AD=AP

，
∴△ADE≌△PAF（AAS），
∴AE=PF=8，OE=OA+AE=14，
設點D的橫坐標為x，由14=2x+6，得x=4，
∴點D的坐標是（4，14）；

（2）存在點D，使△APD是等腰直角三角形，理由為：
直線y=2x+6向右平移6個單位后的解析式為y=2（x-6）+6=2x-6，
如圖2所示，當∠ADP=90°時，AD=PD，易得D點坐標（4，2）；
如圖3所示，當∠APD=90°時，AP=PD，設點P的坐標為（8，m），
則D點坐標為（14-m，m+8），由m+8=2（14-m）-6，得m=

14

3

，
∴D點坐標（

28

3

，

38

3

）；
如圖4所示，當∠ADP=90°時，AD=PD時，同理可求得D點坐標（

20

3

，

22

3

），
綜上，符合條件的點D存在，坐標分別為（4，2），（

28

3

，

38

3

），（

20

3

，

22

3

）．

點評：此題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平移規(guī)律，利用了分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想，本題第二問注意考慮問題要全面，做到不重不漏．