Question

如圖，六邊形ABCDEF的六個內(nèi)角相等，若其連續(xù)四邊長依次為1，9，9，7，（單位：），請你求出這個六邊形的周長．

Answer 1

分析：連接DF，可以得到△DEF是頂角為120°的等腰三角形，過E作EG⊥DF，然后求出DF的長度，如圖，分別作垂線然后表示出AH、CI，再根據(jù)AH+CI=DF即可求出AB+BC的長度，然后周長可得．

解答：解：法一：如圖，連接DF，則△DEF是等腰三角形，
∵六邊形ABCDEF的六個內(nèi)角相等，
∴∠DEF=

1

6

（6-2）•180°=120°，
∴∠EDF=∠EFD=

1

2

（180°-120°）=30°，
∴∠AFD=120°-30°=90°，
同理可得∠CDF=90°，
∴DF⊥AF，AF∥CD，
如圖，分別作DF的垂線，垂線AH，CI，
則∠ABH=∠CBI=120°-90°=30°，
∴AH=AB•sin60°，CI=BC•sin60•，
∴AB+BC=（AH+CI）÷sin60°=（AH+CI）

2 3

3

=DF•

2 3

3

，
在△DEF中，DF=2×9sin60°=9

3

，
∴AB+BC=9

3

×

2 3

3

=18，
∴這個六邊形的周長是1+9+9+7+18=44．

法二：作直線AB、CD、EF，它們分別兩兩相交于點G、H、P，
∵六邊形ABCDEF的六個內(nèi)角相等，
∴∠FAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=120°，
∴∠PAF=∠PFA=∠HED=∠HDE=∠GCB=∠GBC=60°，
∴△GHP、△GBC、△HDE和△HAF都是等邊三角形，
∴PF=PA=AF=1，HE=HD=ED=9，PG=GH=CG=PH=1+9+9=19，
∴BC=CG=BG=GH-CD-DH=19-9-7=3，
∴AB=PG-PA-BG=19-3-1=15，
∴這個六邊形的周長是1+9+9+7+3+15=44．
故答案為：44．

點評：本題考查了多邊形的外角與內(nèi)角，等腰三角形的判定，作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．