Question

已知：如圖1，把矩形紙片ABCD折疊，使得頂點(diǎn)A與邊DC上的動(dòng)點(diǎn)P重合（P不與D、C重合）MN為折痕；點(diǎn)M、N分別在邊BC、AD上，連接AP、MA、MP；設(shè)AP與MN相交于F．
（1）請(qǐng)你在圖中用直尺和圓規(guī)作出線段MP的中點(diǎn)O．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法和證明）
（2）

AF

AN

與

AP

AD

是否相等？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．
（3）隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)PM與MA垂直時(shí)，若過(guò)O點(diǎn)作OH⊥AD與H，并有OH=

1

2

MP；設(shè)矩形ABCD的邊AB為4，試確定P點(diǎn)的位置（圖2供分析參考用）

Answer 1

分析：（1）作出線段MP的垂直平分線和MP的交點(diǎn)即為所求的中的O；
（2）由折疊的性質(zhì)知：MN⊥AP，在Rt△AFN中，cos∠FAN=

AF

AN

，在Rt△ADP中，cos∠PAD=

AD

AP

，由∠FAN=∠PAD，可得：

AF

AN

=

AD

AP

，又P與D不重合，故

AD

AP

≠

AP

AD

，可得：

AF

AN

≠

AP

AD

不相等；
（3）作輔助線連接HO并延長(zhǎng)交BC于J，根據(jù)折疊的性質(zhì)知：MN垂直平分AP，可得：AM=PM，AM為⊙O的切線，可得：∠AMP=∠CMP+∠AMB=90°，又∠BAM+∠AMB=90°，可得：∠CMP=∠BAM，∠B=∠C=90°，可證：△ABM≌△MCD，MC=AB，BM=CP，由AD為⊙O的切線，可得：OJ⊥AD，故：JH∥CP，△MOJ∽△MPC，設(shè)PD的長(zhǎng)為x，則PC=AB-x，OJ=

1

2

PC，OH=AB-OJ可求出⊙O的半徑，又MC=AB，故在Rt△MCP中，運(yùn)用勾股定理可將PD的長(zhǎng)求出進(jìn)而確定P點(diǎn)的位置．

解答：解：（1）如圖所示：

（2）

AF

AN

與

AP

AD

是不相等．
理由如下：
∵P，A關(guān)于MN對(duì)稱(chēng)，
∴MN垂直平分AP，
∴cos∠FAN=

AF

AN

，
∵∠D=90°，
∴cos∠PAD=

AD

AP

，
∵∠FAN=∠PAD，
∴

AF

AN

=

AD

AP

，
∵P不與D重合，P在邊DC上，
∴AD≠AP，
∴

AD

AP

≠

AP

AD

，
∴

AF

AN

≠

AP

AD

；

（3）∵AM是⊙O的切線，
∴∠AMP=90°，
∴∠CMP+∠AMB=90°，
∵∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠CMP=∠BAM，
∵M(jìn)N垂直平分AP，
∴MA=MP，
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABM≌△MCP，
∴MC=AB=4，
設(shè)PD=x，則CP=4-x，
∴BM=PC=4-x，
連接HO并延長(zhǎng)交BC于J，
∵AD是⊙O的切線，
∴∠JHD=90°，
∴HDCJ為矩形，
∴OJ∥CP，
∴△MOJ∽△MPC，
∴OJ：CP=MO：MP=1：2，
∴OJ=

1

2

（4-x），
OH=

1

2

MP=4-OJ=

1

2

（4+x），
∵M(jìn)C²=MP²-CP²，
∴（4+x）²-（4-x）²=16，
解得：x=1，即PD=1，PC=3，
∴點(diǎn)P在離點(diǎn)C3個(gè)單位處．

點(diǎn)評(píng)：此題作為壓軸題，綜合考查了切線的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，綜合性很強(qiáng)，具有一定的難度．