Question

【題目】如圖，在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形擺放在一起（如圖1），點(diǎn)A為公共頂點(diǎn)，∠BAC＝∠AED＝90°，它們的斜邊長(zhǎng)為2．若△ABC固定不動(dòng)，把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，AD、AE與邊BC的交點(diǎn)分別為M、N（點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)N不與點(diǎn)C重合）．

（1）證明：△BAN∽△CMA；

（2）求BNCM的值；

（3）當(dāng)△ADE繞點(diǎn)A繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，AD交BC于點(diǎn)M，AE、BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，此時(shí)BNCM的值是否發(fā)生變化？請(qǐng)你說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）BNCM=2；（3）不變，理由見(jiàn)詳解.

【解析】

（1）由題意可得∠BAN=∠BAD+45°，∠CMA=∠BAD+45°，即可證得∠BAN=∠CMA，又由∠B=∠C=45°，即可證得△BAN∽△CMA；

（2）由△BAN∽△CMA，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得BNCM的值；

（3）由∠BAN=∠BAD+45°，∠CMA=∠BAD+45°，即可證得∠BAN=∠CMA，又由∠B=∠ACM=45°，即可證得△BAN∽△CMA，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，證得結(jié)論．

解：（1）證明：∵∠BAN=∠BAD+45°，∠CMA=∠BAD+45°，

∴∠BAN=∠CMA，

又∵∠B=∠C=45°，

∴△BAN∽△CMA；

（2）解：∵△BAN∽△CMA，

∴BN：CA=BA：CM，

∵斜邊長(zhǎng)為2，

∴AC=AB=，

∴BNCM=ABAC=2；

（3）解：不變．

理由：∵∠BAN=∠BAD+45°，∠CMA=∠BAD+45°，

∴∠BANE=∠CMA，

又∵∠B=∠ACM=45°，

∴△BAN∽△CMA，

∴BN：CA=BA：CM，

∵AC=AB=，

∴BNCM= ABAC=2．