Question

如圖平面直角坐標系中，半徑為5的⊙O過點D、H，且DH⊥x軸，DH=8．
（1）求點H的坐標；

（2）如圖，點A為⊙0和x軸負半軸的交點，P為弧AH上任意一點，連接PD、PH，AM⊥PH交HP的延長線于M，求的值；


（3）如圖，設⊙O與x軸正半軸交點為P，點E、F是線段OP上的動點（與點P不重合），連接并延長DE、DF交⊙O于點B、C，直線BC交x軸于點G，若△DEF是以EF為底的等腰三角形，當E、F兩點在OP上運動時（與點P不重合），試探索：
①∠OGC+∠DOG是定值；②∠GBD+∠DOG是定值；哪一個結論正確，說明理由并求出其定值．

Answer 1

解：（1）連接OH，
∵DH⊥x軸，
∴DC=DH==4，
根據勾股定理OC²+HC²=OH²，
∴OC=3，
∴H（3，-4）；

（2）連接AD、AH，作AN⊥PD于N，
∵∠APM+∠APH，
=∠ADH+∠APH=180°，
∴∠APM=∠ADH=∠AHD=∠APN，
而AN⊥PD，AM⊥PH，
∴AM=AN，
又AP=AP，
∴△APM≌△APN（HL），
由垂徑定理可得：，
∴AD=AH，
∴△ADN≌△AHM（HL），
∴PM=PN，DN=HM，
∴PD-PH=2PM，
∴；

（3）當E、F兩點在OP上運動時（與點P不重合），∠OGC+∠DOG是定值．理由如下：
過點D作DM⊥EF于M，并延長DM交⊙O于N，連接ON，交BC于T，
則弧DP=弧PN，
∴∠DOG=∠NOG，
∵△DEF為等腰三角形，DM⊥EF，
∴DN平分∠BDC，
∴弧BN=弧CN，
所以OT⊥BC，
∴∠OGC+∠NOG=90°，
∴∠OGC+∠DOG=90°．
分析：（1）連接OH，根據勾股定理求得OC=3，從而得出點H的坐標；
（2）連接AD、AH，作AN⊥PD于N，由鄰補角的定義，得∠APM=∠ADH=∠AHD=∠APN，可以證明△ADN≌△AHM，由垂徑定理可得AD=AE
則△ADN≌△AHM，從而得出求的值；
（3）由題意可得，弧DP=弧PN，則∠DOG=∠NOG，由△DEF是等腰三角形，得弧BN=弧CN，則∠OGC+∠NOG=90°，從而得出∠OGC+∠DOG=90°
點評：本題綜合考查了勾股定理、全等三角形的判定、垂徑定理和圓周角定理．解答這類題一些學生不會綜合運用所學知識解答問題，不知從何處入手造成錯解．