Question

在日常生活中，觀察各種建筑物的地板，就能發(fā)現(xiàn)地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案．也就是說，使用給定的某些正多邊形，能夠拼成一個平面圖形，既不留下-絲空白，又不互相重疊（在幾何里叫做平面鑲嵌）．這顯然與正多邊形的內(nèi)角大小有關．當圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角（360°）時，就拼成了一個平面圖形．

（1）請根據(jù)下列圖形，填寫表中空格：

正多邊形邊數(shù)	3	4	5	6	…
正多邊形每個內(nèi)角的度數(shù)					…

（2）如圖，如果限于用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個平面圖形；
（3）正三角形、正四邊形、正六邊形中選一種，再在其他正多邊形中選一種，請畫出用這兩種不同的正多邊形鑲嵌成的一個平面圖形（草圖）；并探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面圖形？說明你的理由．

Answer 1

解：（1）由正n邊形的內(nèi)角的性質(zhì)可分別求得正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形…正n邊形的每一個內(nèi)角為：60°，90°，108°，120°，…（n-2）•180°÷n；

（2）如限于用一種正多邊形鑲嵌，則由一頂點的周圍角的和等于360°得正三角形、正四邊形（或正方形）、正六邊形都能鑲嵌成一個平面圖形；

（3）如：正方形和正八邊形（如圖），設在一個頂點周圍有m個正方形的角，n個正八邊形的角，那么m，n應是方程m•90°+n•135°=360°的正整數(shù)解．即2m+3n=8的正整數(shù)解，只有m=1，n=2一組，∴符合條件的圖形只有一種．
分析：（1）利用正多邊形一個內(nèi)角=180-求解；
（2）進行平面鑲嵌就是在同一頂點處的幾個多邊形的內(nèi)角和應為360°，因此我們只需驗證360°是不是上面所給的幾個正多邊形的一個內(nèi)角度數(shù)的整數(shù)倍；
（3）常見的兩種正多邊形的密鋪組合有：正三角形和正四邊形能密鋪，正六邊形只能和正三角形密鋪．所以要從正三角形、正四邊形、正六邊形中選一種，只能選擇正四邊形．
點評：求正多邊形一個內(nèi)角度數(shù)，可先求出這個外角度數(shù)，讓180減去即可．一種正多邊形的鑲嵌應符合一個內(nèi)角度數(shù)能整除360°；兩種或兩種以上幾何圖形鑲嵌成平面的關鍵是：圍繞一點拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角．